Teoremas de Circuitos: Panorama

Os mesmos teoremas de Circuitos Elétricos I se aplicam a CA, trocando resistências por impedâncias:

  • Superposição — decompõe um circuito com várias fontes em problemas menores, um por fonte.
  • Thévenin e Norton — substituem uma rede complexa vista de dois terminais por um equivalente simples.
  • Máxima transferência de potência — determina a carga que extrai a maior potência média de uma fonte real.

Pré-requisito dos teoremas

Todos exigem que o circuito seja linear. Em CA, exigem ainda que as fontes operem na mesma frequência \(\omega\), para que a soma de fasores tenha sentido.

Teorema da Superposição

Em um circuito linear com múltiplas fontes independentes, a resposta (tensão ou corrente) em qualquer elemento é a soma algébrica das respostas causadas por cada fonte atuando isoladamente, com as demais desativadas.

Regra de desativação de uma fonte independente:

Superposição em CA — Cuidados

Mesma frequência: some fasores

Se todas as fontes têm a mesma frequência \(\omega\), cada etapa gera um fasor e eles podem ser somados diretamente (como nos exemplos desta aula).

Frequências diferentes: some no tempo

Se as fontes têm frequências diferentes, os fasores de cada etapa não podem ser somados (não faz sentido somar números complexos associados a \(\omega\) distintos). Nesse caso, resolva cada etapa separadamente no domínio do tempo e some as formas de onda \(v(t)\) resultantes.

Superposição — Circuito de Exemplo

Dados: \(\mathbf{V}_s = 20\angle 0°\) V, \(\mathbf{I}_s = 3\angle 90°\) A, \(\mathbf{Z}_1 = 2\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_2 = 4\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_3 = -j2\ \Omega\). Objetivo: encontrar \(\mathbf{I}_3\).

Superposição — Passo 1: Apenas \(\mathbf{V}_s\)

Com \(\mathbf{I}_s\) desativada (circuito aberto), o circuito se reduz a \(\mathbf{V}_s\) e \(\mathbf{Z}_1\) em série com \(\mathbf{Z}_2 \| \mathbf{Z}_3\) — um divisor de tensão:

\[\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3 = \frac{(4)(-j2)}{4-j2} = 0{,}8-j1{,}6\ \Omega\]

\[\mathbf{V}_A' = \mathbf{V}_s\cdot\frac{\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3} = 20\cdot\frac{0{,}8-j1{,}6}{2{,}8-j1{,}6} = 11{,}09\angle{-33{,}7°}\ \text{V}\]

Superposição — Passo 2: Apenas \(\mathbf{I}_s\)

Com \(\mathbf{V}_s\) desativada (curto-circuito), \(\mathbf{Z}_1\), \(\mathbf{Z}_2\) e \(\mathbf{Z}_3\) ficam todos em paralelo, vistos pela fonte de corrente:

\[\mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3 = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{-j2}\right)^{-1} = 0{,}92-j0{,}62\ \Omega\]

\[\mathbf{V}_A'' = \mathbf{I}_s\cdot(\mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3) = (3\angle 90°)(1{,}11\angle{-33{,}7°}) = 3{,}33\angle 56{,}3°\ \text{V}\]

Superposição — Resultado Final

Somando as duas contribuições (mesma frequência \(\omega\), soma de fasores):

\[\mathbf{V}_A = \mathbf{V}_A'+\mathbf{V}_A'' = 11{,}58\angle{-17{,}0°}\ \text{V}\]

\[\boxed{\mathbf{I}_3 = \frac{\mathbf{V}_A}{\mathbf{Z}_3} = \frac{11{,}58\angle{-17{,}0°}}{2\angle{-90°}} = 5{,}79\angle 73{,}0°\ \text{A}}\]

Verificação

O mesmo resultado é obtido resolvendo o circuito de uma vez por análise nodal (sem superposição) — confira como exercício.

Superposição — Exemplo Resolvido

Dados: \(v_s(t) = 20\cos(4t)\) V e \(i_s(t) = 4\cos(2t)\) A. Objetivo: encontrar \(v_o(t)\) sobre o indutor.

As fontes têm frequências diferentes: cada contribuição usa sua própria impedância e a soma é feita no tempo.

Superposição — Exemplo: Apenas \(v_s\) (\(\omega = 4\) rad/s)

Com \(i_s\) desativada (circuito aberto): \(Z_L = j\omega L = j4\ \Omega\), e o circuito vira um divisor de tensão:

\[\mathbf{V}_o' = \mathbf{V}_s\,\frac{Z_L}{R + Z_L} = 20\angle 0^\circ\cdot\frac{j4}{4 + j4} = \frac{20\,j}{1 + j} = 10 + j10 = 14{,}14\angle 45^\circ\ \text{V}\]

\[v_o'(t) = 14{,}14\cos(4t + 45^\circ)\ \text{V}\]

Superposição — Exemplo: Apenas \(i_s\) (\(\omega = 2\) rad/s)

Com \(v_s\) desativada (curto-circuito): \(Z_L = j2\ \Omega\), e \(R\) fica em paralelo com \(L\):

\[R \,\|\, Z_L = \frac{4\,(j2)}{4 + j2} = \frac{j8\,(4 - j2)}{20} = 0{,}8 + j1{,}6\ \Omega\]

\[\mathbf{V}_o'' = \mathbf{I}_s\,(R\,\|\,Z_L) = 4\angle 0^\circ\,(0{,}8 + j1{,}6) = 3{,}2 + j6{,}4 = 7{,}16\angle 63{,}4^\circ\ \text{V}\]

\[v_o''(t) = 7{,}16\cos(2t + 63{,}4^\circ)\ \text{V}\]

Superposição — Exemplo: Resultado

Os fasores \(\mathbf{V}_o'\) e \(\mathbf{V}_o''\) giram em frequências diferentes e não podem ser somados. A soma é feita no tempo:

Resposta

\[v_o(t) = v_o'(t) + v_o''(t) = 14{,}14\cos(4t + 45^\circ) + 7{,}16\cos(2t + 63{,}4^\circ)\ \text{V}\]

Erro comum

Somar \(\mathbf{V}_o' + \mathbf{V}_o'' = 13{,}2 + j16{,}4\) V não tem significado físico: cada fasor pressupõe uma frequência \(\omega\) diferente.

Teorema de Thévenin

Qualquer rede linear de dois terminais \(a\)-\(b\) pode ser substituída por uma fonte de tensão \(\mathbf{V}_{th}\) em série com uma impedância \(\mathbf{Z}_{th}\), onde:

  • \(\mathbf{V}_{th}\) = tensão de circuito aberto entre \(a\) e \(b\);
  • \(\mathbf{Z}_{th}\) = impedância vista dos terminais \(a\)-\(b\) com as fontes independentes desativadas.

Thévenin — Cálculo de \(\mathbf{Z}_{th}\) com Fontes Dependentes

Warning

Se a rede contém fontes dependentes, elas não podem ser desativadas — apenas as fontes independentes o são. Nesse caso, use o método da fonte de teste:

  1. Desative todas as fontes independentes (mantenha as dependentes).
  2. Aplique uma fonte de teste \(\mathbf{I}_{teste}=1\angle 0°\) A (ou \(\mathbf{V}_{teste}\)) nos terminais \(a\)-\(b\).
  3. Calcule \(\mathbf{V}_{teste}\) resultante: \(\mathbf{Z}_{th} = \mathbf{V}_{teste}/\mathbf{I}_{teste}\).

Thévenin — Exemplo Numérico

Dados: \(\mathbf{V}_s=40\angle 0°\) V, \(\mathbf{Z}_1=4\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_2=j8\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_3=3-j4\ \Omega\) (rede do slide anterior).

\(\mathbf{V}_{th}\) (tensão de circuito aberto): como não há corrente por \(\mathbf{Z}_3\) (terminal \(a\) aberto), \(\mathbf{V}_{th}\) é a tensão no nó entre \(\mathbf{Z}_1\) e \(\mathbf{Z}_2\) — um divisor de tensão simples:

\[\mathbf{V}_{th} = \mathbf{V}_s\cdot\frac{\mathbf{Z}_2}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2} = 40\cdot\frac{j8}{4+j8} = 32+j16 = 35{,}78\angle 26{,}6°\ \text{V}\]

\(\mathbf{Z}_{th}\) (fontes desativadas: \(\mathbf{V}_s\to\) curto): \(\mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2\) em série com \(\mathbf{Z}_3\):

\[\mathbf{Z}_{th} = \mathbf{Z}_3 + \mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2 = (3-j4) + \frac{(4)(j8)}{4+j8} = \boxed{6{,}2-j2{,}4\ \Omega}\]

Thévenin — Exemplo Resolvido

Objetivo: encontrar o equivalente de Thévenin visto dos terminais \(a\)-\(b\) e a corrente em uma carga \(R_L = 5\ \Omega\) ligada entre \(a\) e \(b\).

Thévenin — Exemplo Resolvido: \(\mathbf{V}_{th}\) e \(\mathbf{Z}_{th}\)

\(\mathbf{V}_{th}\): com \(a\)-\(b\) aberto não há corrente em \(j5\ \Omega\), logo \(\mathbf{V}_{th} = \mathbf{V}_x\) (divisor de tensão):

\[\mathbf{V}_{th} = 50\angle 0^\circ\cdot\frac{-j10}{10 - j10} = \frac{50\,(-j)}{1 - j} = 25 - j25 = 35{,}36\angle{-45^\circ}\ \text{V}\]

\(\mathbf{Z}_{th}\): fonte de tensão em curto; \(10\ \Omega \,\|\, (-j10\ \Omega)\) em série com \(j5\ \Omega\):

\[\mathbf{Z}_{th} = j5 + \frac{10\,(-j10)}{10 - j10} = j5 + (5 - j5) = 5 + j0 = 5\angle 0^\circ\ \Omega\]

Observação

A reatância do indutor cancela a parte reativa do paralelo: neste caso, \(\mathbf{Z}_{th}\) é puramente resistiva.

Thévenin — Exemplo Resolvido: Corrente na Carga

\[ \begin{aligned} \mathbf{I}_L &= \frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th} + R_L} = \frac{25 - j25}{5 + 5} \\[4pt] &= 2{,}5 - j2{,}5 = 3{,}54\angle{-45^\circ}\ \text{A} \\[8pt] \mathbf{V}_L &= R_L\,\mathbf{I}_L = 12{,}5 - j12{,}5 = 17{,}68\angle{-45^\circ}\ \text{V} \end{aligned} \]

Resposta

\(\mathbf{V}_{th} = 25 - j25 = 35{,}36\angle{-45^\circ}\) V, \(\quad\mathbf{Z}_{th} = 5\ \Omega\), \(\quad\mathbf{I}_L = 2{,}5 - j2{,}5 = 3{,}54\angle{-45^\circ}\) A

Teorema de Norton

Qualquer rede linear de dois terminais \(a\)-\(b\) pode ser substituída por uma fonte de corrente \(\mathbf{I}_n\) em paralelo com uma impedância \(\mathbf{Z}_n\), onde \(\mathbf{I}_n\) é a corrente de curto-circuito entre \(a\) e \(b\).

Relação direta com Thévenin: \(\mathbf{Z}_n = \mathbf{Z}_{th} \qquad\qquad \mathbf{I}_n = \dfrac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}}\)

Norton — Exemplo Numérico

Usando os valores do exemplo anterior (\(\mathbf{V}_{th}=35{,}78\angle 26{,}6°\) V, \(\mathbf{Z}_{th}=6{,}2-j2{,}4\ \Omega = 6{,}65\angle{-21{,}2°}\ \Omega\)):

\[\mathbf{Z}_n = \mathbf{Z}_{th} = 6{,}2-j2{,}4\ \Omega\]

\[\mathbf{I}_n = \frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}} = \frac{35{,}78\angle 26{,}6°}{6{,}65\angle{-21{,}2°}} = \boxed{5{,}38\angle 47{,}7°\ \text{A}}\]

Tip

Essa é exatamente a transformação de fonte já conhecida de Circuitos Elétricos I, agora com impedâncias complexas no lugar de resistências.

Norton — Exemplo Resolvido

Objetivo: encontrar o equivalente de Norton visto dos terminais \(a\)-\(b\) diretamente (corrente de curto-circuito) e a corrente em uma carga \(\mathbf{Z}_L = 4 + j4\ \Omega\) ligada entre \(a\) e \(b\).

Norton — Exemplo Resolvido: \(\mathbf{I}_n\) e \(\mathbf{Z}_n\)

\(\mathbf{I}_n\): curto-circuitando \(a\)-\(b\), o capacitor fica em curto e a fonte divide sua corrente entre \(4\ \Omega\) e \(j4\ \Omega\):

\[\mathbf{I}_n = 10\angle 0^\circ\cdot\frac{4}{4 + j4} = \frac{10}{1 + j} = 5 - j5 = 7{,}07\angle{-45^\circ}\ \text{A}\]

\(\mathbf{Z}_n\): fonte de corrente aberta; \((4 + j4)\) em paralelo com \(-j4\):

\[\mathbf{Z}_n = \frac{(4 + j4)(-j4)}{4 + j4 - j4} = \frac{16 - j16}{4} = 4 - j4 = 5{,}66\angle{-45^\circ}\ \Omega\]

Norton — Exemplo Resolvido: Corrente na Carga

Com \(\mathbf{Z}_L\) em paralelo com \(\mathbf{Z}_n\), divisor de corrente:

\[\mathbf{I}_L = \mathbf{I}_n\,\frac{\mathbf{Z}_n}{\mathbf{Z}_n + \mathbf{Z}_L} = (5 - j5)\,\frac{4 - j4}{8} = \frac{-j40}{8} = -j5\ \text{A}\]

Resposta

\(\mathbf{I}_n = 5 - j5 = 7{,}07\angle{-45^\circ}\) A, \(\quad\mathbf{Z}_n = 4 - j4 = 5{,}66\angle{-45^\circ}\ \Omega\), \(\quad\mathbf{I}_L = 0 - j5 = 5\angle{-90^\circ}\) A

Verificação por Thévenin

\(\mathbf{V}_{th} = \mathbf{I}_n\mathbf{Z}_n = (5 - j5)(4 - j4) = -j40\) V e \(\mathbf{I}_L = \dfrac{-j40}{(4 - j4) + (4 + j4)} = -j5\) A ✓. Note que \(\mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_n^{*}\): a carga está casada para máxima transferência de potência.

Máxima Transferência de Potência — Dedução

Uma fonte real (equivalente de Thévenin \(\mathbf{V}_{th}\), \(\mathbf{Z}_{th}=R_{th}+jX_{th}\)) alimenta uma carga \(\mathbf{Z}_L=R_L+jX_L\). A potência média entregue à carga é:

\[P_L = \frac{1}{2}|\mathbf{I}|^2 R_L, \qquad \mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}+\mathbf{Z}_L}\]

Máxima Transferência de Potência — Casamento Conjugado

Maximizando \(P_L\) em relação a \(X_L\) e depois a \(R_L\) (derivadas parciais nulas), obtém-se a condição de casamento conjugado:

Casamento Conjugado

\[\mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} = R_{th}-jX_{th}\]

Nessa condição, a potência máxima entregue é:

\[P_{max} = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{8R_{th}}\]

Máxima Transferência de Potência — Gráfico

Com \(X_L=-X_{th}\) já casado, \(P_L\) varia com \(R_L\) e atinge o máximo exatamente em \(R_L=R_{th}\):

Máxima Transferência — Exemplo Numérico

Usando o equivalente de Thévenin já calculado (\(\mathbf{V}_{th}=35{,}78\angle 26{,}6°\) V, \(\mathbf{Z}_{th}=6{,}2-j2{,}4\ \Omega\)):

\[\mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} = 6{,}2+j2{,}4\ \Omega\]

\[P_{max} = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{8R_{th}} = \frac{35{,}78^2}{8(6{,}2)} = \boxed{25{,}8\ \text{W}}\]

Caso a carga seja restrita a puramente resistiva

Se \(\mathbf{Z}_L\) só puder ser real (\(X_L=0\), ex.: um resistor comum), o máximo ocorre em \(R_L=|\mathbf{Z}_{th}|\), com \(P_{max}=\dfrac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{4\left(R_{th}+|\mathbf{Z}_{th}|\right)}\) — valor menor que o casamento conjugado (no exemplo anterior, \(24{,}9\) W em vez de \(25{,}8\) W).

Resumo dos Teoremas

Teorema Ideia central Resultado
Superposição Uma fonte por vez, some as respostas Válido p/ tensão e corrente
Thévenin Rede → fonte de tensão + impedância série \(\mathbf{V}_{th}\), \(\mathbf{Z}_{th}\)
Norton Rede → fonte de corrente + impedância paralela \(\mathbf{I}_n=\mathbf{V}_{th}/\mathbf{Z}_{th}\), \(\mathbf{Z}_n=\mathbf{Z}_{th}\)
Máxima potência Carga casada com a fonte \(\mathbf{Z}_L=\mathbf{Z}_{th}^{*}\), \(P_{max}=|\mathbf{V}_{th}|^2/8R_{th}\)

Exercícios

  1. No exemplo de superposição, resolva o circuito diretamente por análise nodal e confirme que \(\mathbf{I}_3\) coincide com o resultado obtido por superposição.
  2. Para a rede do exemplo de Thévenin, calcule a corrente de curto-circuito entre \(a\) e \(b\) diretamente e confirme que \(\mathbf{I}_{cc}=\mathbf{I}_n\).
  3. Encontre o equivalente de Thévenin visto pelos terminais \(a\)-\(b\) se \(\mathbf{Z}_3\) do exemplo for removido (terminais diretamente no nó entre \(\mathbf{Z}_1\) e \(\mathbf{Z}_2\)).
  4. Uma fonte com \(\mathbf{V}_{th}=100\angle 0°\) V e \(\mathbf{Z}_{th}=50+j30\ \Omega\) alimenta uma carga. Determine \(\mathbf{Z}_L\) para máxima transferência de potência e o valor de \(P_{max}\).
  5. Repita o exercício anterior supondo que a carga deva ser puramente resistiva.

Referências