Potência em Corrente Alternada

Circuitos Elétricos II · Aula 5

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Potência em CC × potência em CA

Corrente contínua

\[p = V\,I \quad \text{(constante)}\]

Fluxo constante, da fonte para a carga.

Corrente alternada

\[p(t) = v(t)\,i(t) = \;?\]

\(v(t)\) e \(i(t)\) oscilam, em geral defasadas.

E em CA: como a energia vai da fonte para a carga?

Aula de ~100 min. Roteiro: p(t) (25) · valor eficaz (10) · P e Q (20) · potência complexa (15) · fator de potência (10) · correção (15) · síntese (5). Deixe a pergunta no ar: ela é respondida no gráfico de p(t) e no slide das parcelas ativa e reativa.

Potência instantânea

• Perguntas
• Produto de cossenos
• Dedução de \(p(t)\)
• Gráfico

O que queremos saber

Com \(v(t) = V_m\cos(\omega t+\theta_v)\) e \(i(t) = I_m\cos(\omega t+\theta_i)\):

1. Quanta energia a fonte entrega, em média, à carga?
2. Parte da energia volta para a fonte?
3. Qual o papel da defasagem \(\theta_v-\theta_i\)?

O ponto de partida é o produto \(v(t)\,i(t)\): um produto de dois cossenos.

Produto de dois cossenos

\(\cos(A+B)\) \(= \cos A\cos B - \sin A\sin B\) cosseno da soma

\(\cos(A-B)\) \(= \cos A\cos B + \sin A\sin B\) cosseno da diferença

\(2\cos A\cos B\) \(= \cos(A-B)+\cos(A+B)\) somando: os senos se cancelam

\(\cos A\cos B\) \(= \tfrac12\big[\eq{a}{\cos(A-B)} + \eq{b}{\cos(A+B)}\big]\) identidade produto-soma

Em \(p(t) = v(t)\,i(t)\):

• \(A = \omega t+\theta_v\) e \(B = \omega t+\theta_i\)
• \(\eq{a}{A-B = \theta_v-\theta_i}\): não depende de \(t\)
• \(\eq{b}{A+B = 2\omega t+\theta_v+\theta_i}\): frequência dobrada

Dedução de \(p(t)\)

\(p(t)\) \(= v(t)\,i(t)\) definição

\(p(t)\) \(= V_m I_m \cos(\omega t+\theta_v)\cos(\omega t+\theta_i)\) senoides de tensão e corrente

\(p(t)\) \(= \tfrac{1}{2}V_m I_m\left[\cos(\theta_v-\theta_i) + \cos(2\omega t+\theta_v+\theta_i)\right]\) produto de cossenos

\(p(t)\) \(= \eq{a}{\tfrac12 V_m I_m\cos\theta} + \eq{b}{\tfrac12 V_m I_m\cos(2\omega t+\theta_v+\theta_i)}\) \(\theta = \theta_v-\theta_i\)

parcela constante + parcela que oscila no dobro da frequência

\(p(t)\) ao vivo

Responde às perguntas do início. Comece em θ = 0 (resistor: p ≥ 0 sempre, média máxima), depois ±90° (indutor/capacitor: média nula, metade do tempo a energia volta) e termine em 60°, o caso do exemplo numérico.

Valor eficaz

• Definição
• Senoide

Valor eficaz (RMS)

Que tensão constante \(V_{ef}\) entregaria a um resistor a mesma potência média que uma tensão periódica \(v(t)\)?

\[ \frac{V_{ef}^2}{R} = \frac{1}{T}\int_0^T \frac{v^2(t)}{R}\,dt \qquad\Longrightarrow\qquad \eq{a}{V_{ef}} = \sqrt{\eq{b}{\tfrac{1}{T}\textstyle\int_0^T} \eq{c}{v^2(t)}\,dt} \]

Raiz da média do quadrado: root mean square (RMS).

Vale para qualquer sinal periódico, de tensão ou de corrente.

Valor eficaz de uma senoide

\(V_{rms}^2\) \(= \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T V_m^2\cos^2(\omega t+\theta_v)\,dt\) definição

\(V_{rms}^2\) \(= \dfrac{V_m^2}{T}\displaystyle\int_0^T \tfrac12\big[1+\cos(2\omega t+2\theta_v)\big]\,dt\) produto de cossenos com \(A=B\)

\(V_{rms}^2\) \(= \dfrac{V_m^2}{2}\) o cosseno tem média nula no período

\(V_{rms}\) \(= \dfrac{V_m}{\sqrt2} \approx 0{,}707\,V_m\) idem para \(I_{rms} = I_m/\sqrt2\)

Os 127 V da tomada são valor eficaz: o pico é \(127\sqrt2 \approx 180\) V.

Potências ativa e reativa

• Duas parcelas
• Potência média
• Potência reativa
• R, L e C

Separando \(p(t)\) em duas parcelas

\[ \begin{aligned} p(t) &= V_{rms}I_{rms}\cos\theta + V_{rms}I_{rms}\cos(2\omega t+2\theta_i+\theta)\\[8pt] &= \eq{a}{V_{rms}I_{rms}\cos\theta}\,\big[1+\cos(2\omega t+2\theta_i)\big] - \eq{b}{V_{rms}I_{rms}\sin\theta}\,\sin(2\omega t+2\theta_i) \end{aligned} \]

Usando \(\tfrac12 V_mI_m = V_{rms}I_{rms}\), \(\;\theta_v+\theta_i = 2\theta_i+\theta\;\) e o cosseno da soma.

Parcela ativa

Amplitude \(\propto\cos\theta\), nunca negativa: energia entregue à carga.

Parcela reativa

Amplitude \(\propto\sin\theta\), média nula: energia que vai e volta.

As duas parcelas no tempo

θ = 0: só a parcela ativa (resistor). θ = ±90°: só a reativa, média nula (indutor/capacitor). Em 60°, mostre que a soma reproduz o p(t) do gráfico anterior.

Potência média (ativa)

\[ P = \frac{1}{T}\int_0^T p(t)\,dt = \eq{a}{V_{rms}I_{rms}\cos\theta} = \tfrac12 V_m I_m\cos(\theta_v-\theta_i) \qquad [\text{W}] \]

A parcela reativa e a oscilação da ativa têm média nula: só sobra a amplitude da parcela ativa.

\(P\) é a única parcela que realiza trabalho útil (calor, torque, luz) e a que se paga em kWh.

Exemplo: potência média

Calcule a potência média fornecida pela fonte e a absorvida pelo resistor e pelo capacitor.

Fasores em amplitude de pico, como em Alexander & Sadiku (2013).

Antes de calcular: qual elemento não absorve potência média? Por quê?

Exemplo: solução

\(\mathbf{Z}\) \(= 4 - j2 = 4{,}472\angle{-26{,}57°}\ \Omega\) impedância série

\(\mathbf{I}\) \(= 5\angle 30° \,/\, 4{,}472\angle{-26{,}57°} = 1{,}118\angle 56{,}57°\ \text{A}\) lei de Ohm

\(P_{fonte}\) \(= \tfrac12\,(5)(1{,}118)\cos(30° - 56{,}57°) = \eq{a}{2{,}5\ \text{W}}\) \(\tfrac12 V_mI_m\cos(\theta_v-\theta_i)\)

\(P_R\) \(= \tfrac12\,(1{,}118)^2\,(4) = \eq{a}{2{,}5\ \text{W}}\) \(\tfrac12 I_m^2 R\)

\(P_C\) \(= \tfrac12\,V_{Cm} I_m\cos(-90°) = 0\) \(V\) e \(I\) em quadratura

\(P_{fonte} = P_R + P_C\): os 2,5 W da fonte vão todos para o resistor.

Potência reativa

\[ Q = \eq{b}{V_{rms}I_{rms}\sin\theta} = \tfrac12 V_m I_m\sin(\theta_v-\theta_i) \qquad [\text{var}] \]

\(Q\) não representa energia consumida: é a amplitude da troca de energia entre a fonte e os campos elétrico e magnético de capacitores e indutores.

Resistor, indutor e capacitor

Fasores alinhados (R): p(t) nunca negativa. Fasores ortogonais (L e C): p(t) tem média nula, metade do ciclo a energia volta. O sinal de Q distingue indutor (absorve reativo) de capacitor (fornece reativo): é a base da correção do fator de potência.

Potência complexa

• Aparente
• Complexa
• Triângulo
• Conservação

Potência aparente e potência complexa

\(S\) \(= V_{rms}I_{rms} \quad [\text{VA}]\) aparente: ignora a defasagem

\(\mathbf{S}\) \(= \mathbf{V}_{rms}\,\mathbf{I}_{rms}^{*} = \tfrac12\,\mathbf{V}\mathbf{I}^{*}\) complexa: usa o conjugado da corrente

\(\mathbf{S}\) \(= V_{rms}\angle\theta_v \cdot I_{rms}\angle{-\theta_i} = V_{rms}I_{rms}\angle(\theta_v-\theta_i)\) produto na forma polar

\(\mathbf{S}\) \(= \eq{a}{V_{rms}I_{rms}\cos\theta} + j\,\eq{b}{V_{rms}I_{rms}\sin\theta} = \eq{a}{P} + j\,\eq{b}{Q}\) Euler

\(|\mathbf{S}| = S\) e \(\angle\mathbf{S} = \theta\): um só número complexo guarda \(P\) e \(Q\).

Formas equivalentes de \(\mathbf{S}\)

\(\mathbf{S}\) \(= \mathbf{V}_{rms}\,\mathbf{I}_{rms}^{*}\) definição

\(\mathbf{S}\) \(= (\mathbf{Z}\,\mathbf{I}_{rms})\,\mathbf{I}_{rms}^{*}\) lei de Ohm: \(\mathbf{V}_{rms} = \mathbf{Z}\,\mathbf{I}_{rms}\)

\(\mathbf{S}\) \(= \mathbf{Z}\,|\mathbf{I}_{rms}|^2 = \mathbf{Z}\,I_{rms}^2\) \(z\,z^{*} = |z|^2\), um número real

\(\mathbf{S}\) \(= (R+jX)\,I_{rms}^2 = \eq{a}{R\,I_{rms}^2} + j\,\eq{b}{X\,I_{rms}^2}\) \(\mathbf{Z} = R + jX\)

\(P = R\,I_{rms}^2\) vem só da resistência; \(Q = X\,I_{rms}^2\), só da reatância.

Em função da tensão, com \(\mathbf{I}_{rms} = \mathbf{V}_{rms}/\mathbf{Z}\): \(\;\mathbf{S} = \mathbf{V}_{rms}\left(\dfrac{\mathbf{V}_{rms}}{\mathbf{Z}}\right)^{*} = \dfrac{V_{rms}^2}{\mathbf{Z}^{*}}\).

Triângulo de potências

\[ \begin{aligned} S &= \sqrt{P^2+Q^2}\\[4pt] \theta &= \arctan\frac{Q}{P}\\[4pt] P &= S\cos\theta\\[4pt] Q &= S\sin\theta \end{aligned} \]

O ângulo \(\theta\) do triângulo é o mesmo \(\theta_v-\theta_i\) de \(p(t)\), \(P\) e \(Q\).

Conservação da potência complexa

Num circuito, a potência complexa fornecida pelas fontes é igual à soma das absorvidas pelas cargas, em série ou em paralelo.

\[ \mathbf{S}_{\text{fonte}} = \sum_k \mathbf{S}_k \qquad\Longrightarrow\qquad P = \sum_k P_k, \qquad Q = \sum_k Q_k \]

Cuidado

A potência aparente não se conserva: \(S \neq \sum_k S_k\) em geral, porque os módulos não se somam.

Exemplo: linha de transmissão

Uma carga é alimentada por uma fonte de tensão através de uma linha de transmissão, representada pela impedância \((4 + j2)\ \Omega\) (inclui o caminho de retorno).

Determine as potências ativa e reativa absorvidas:

1. pela fonte;
2. pela linha;
3. pela carga.

Adaptado de Alexander & Sadiku (2013). Fasor em valor eficaz: \(\mathbf{S} = \mathbf{V}_{rms}\mathbf{I}_{rms}^{*}\), sem o fator \(\tfrac12\).

Exemplo: solução

\(\mathbf{Z}\) \(= 19 - j8 = 20{,}62\angle{-22{,}83°}\ \Omega\) (série)

\(\mathbf{I}\) \(= 220\angle 0° / 20{,}62\angle{-22{,}83°} = 10{,}67\angle 22{,}83°\) A

\(\mathbf{S}_{linha}\) \(= 113{,}9\,(4+j2) = \eq{a}{455{,}5} + j\eq{b}{227{,}8}\) VA

\(\mathbf{S}_{carga}\) \(= 113{,}9\,(15-j10) = \eq{a}{1708{,}2} - j\eq{b}{1138{,}8}\) VA

\(\mathbf{S}_{fonte}\) \(= -\mathbf{V}\mathbf{I}^{*} = \eq{a}{-2163{,}8} + j\eq{b}{911{,}1}\) VA

\(\mathbf{S}_{fonte} + \mathbf{S}_{linha} + \mathbf{S}_{carga} = 0\): a potência complexa se conserva.

\(I_{rms}^2 = 113{,}9\) A². Na fonte, \(\mathbf{I}\) sai pelo terminal \(+\): a potência absorvida tem sinal negativo (ela fornece 2163,8 W).

Fator de potência

• Ângulo da impedância
• Definição
• Exemplo

\(\theta\) é o ângulo da impedância

\(\mathbf{Z}\) \(= \mathbf{V}/\mathbf{I} = \tfrac{V_m\angle\theta_v}{I_m\angle\theta_i}\) lei de Ohm fasorial

\(\mathbf{Z}\) \(= \tfrac{V_m}{I_m}\angle(\eq{a}{\theta_v-\theta_i})\) na divisão, os ângulos se subtraem

\(\theta_Z\) \(= \eq{a}{\theta_v-\theta_i} = \theta\) o ângulo de \(p(t)\), \(P\) e \(Q\)

Carga	\(\mathbf{Z}\)	\(\theta_Z\)
Resistor	\(R\)	\(0°\)
Indutor	\(j\omega L\)	\(+90°\)
Capacitor	\(1/(j\omega C) = -j/(\omega C)\)	\(-90°\)

\(\theta\) depende só da carga: é a impedância que fixa \(P\) e \(Q\).

Fator de potência

Razão entre a potência ativa e a aparente: \[\text{fp} = \frac{P}{S} = \cos\theta\]

Como \(\cos\theta\) é par, o fp sozinho não diz se a corrente adianta ou atrasa: por isso ele é sempre qualificado.

Natureza	Condição	Corrente em relação à tensão
Atrasado (indutivo)	\(\theta>0\)	atrasa: motores, transformadores
Adiantado (capacitivo)	\(\theta<0\)	adianta: bancos de capacitores
Unitário	\(\theta=0\)	em fase: carga puramente resistiva

Exemplo numérico

\(v(t) = 170\cos(\omega t)\) V e \(i(t) = 10\cos(\omega t-60°)\) A, o mesmo caso da animação de \(p(t)\).

\(V_{rms}\) \(= 170/\sqrt2 = 120{,}2\ \text{V}\) valor eficaz da tensão

\(I_{rms}\) \(= 10/\sqrt2 = 7{,}07\ \text{A}\) valor eficaz da corrente

\(\theta\) \(= 0-(-60°) = 60°\) \(\theta_v-\theta_i\)

\(P\) \(= 850\cos 60° = \eq{a}{425\ \text{W}}\) \(V_{rms}I_{rms} = 850\) VA

\(Q\) \(= 850\sin 60° = \eq{b}{736{,}1\ \text{var}}\) \(\sin 60° = 0{,}866\)

\(\mathbf{S}\) \(= 425 + j\,736{,}1 = 850\angle 60°\ \text{VA}\) potência complexa

fp \(= 425/850 = 0{,}5\) atrasado \(\theta>0\): carga indutiva

Exemplo: cargas em paralelo

Com \(\mathbf{Z}_1 = 60\angle{-30°}\ \Omega\) e \(\mathbf{Z}_2 = 40\angle 45°\ \Omega\), calcule, para o conjunto visto pela fonte:

1. a potência aparente;
2. a potência ativa;
3. a potência reativa;
4. o fator de potência.

Adaptado de Alexander & Sadiku (2013). Fasores em valor eficaz.

Exemplo: solução

\(\mathbf{S}_1\) \(= \dfrac{V_{rms}^2}{\mathbf{Z}_1^{*}} = \dfrac{120^2}{60\angle 30°} = 240\angle{-30°} = 207{,}8 - j120\ \text{VA}\)

\(\mathbf{S}_2\) \(= \dfrac{V_{rms}^2}{\mathbf{Z}_2^{*}} = \dfrac{120^2}{40\angle{-45°}} = 360\angle 45° = 254{,}6 + j254{,}6\ \text{VA}\)

\(\mathbf{S}\) \(= \mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2 = \eq{a}{462{,}4} + j\,\eq{b}{134{,}6} = 481{,}6\angle 16{,}22°\ \text{VA}\)

fp \(= \cos 16{,}22° = 0{,}96\) atrasado (\(\theta > 0\): indutivo)

\(S = 481{,}6\) VA, \(\;P = 462{,}4\) W, \(\;Q = 134{,}6\) var, \(\;\)fp \(= 0{,}96\) atrasado.

Correção do fator de potência

• Motivação
• Método
• Simulação
• Exemplo

Por que corrigir?

• Fp baixo exige mais corrente para entregar a mesma \(P\): mais perdas \(R\,I^2\) na fiação e condutores e transformadores maiores.
• A concessionária cobra o excedente de reativo quando o fp fica abaixo de 0,92 (ANEEL).

Solução: um banco de capacitores em paralelo com a carga fornece localmente parte do reativo, sem alterar \(P\) nem a tensão na carga.

O método

\(Q_1\) \(= P\tan\theta_1\) reativo antes, com \(\theta_1 = \arccos \text{fp}_1\)

\(Q_2\) \(= P\tan\theta_2\) reativo desejado, com o mesmo \(P\)

\(Q_c\) \(= Q_1-Q_2 = \eq{e}{P\,(\tan\theta_1-\tan\theta_2)}\) o capacitor fornece a diferença

\(C\) \(= \dfrac{\eq{e}{Q_c}}{\omega V_{rms}^2}\) \(Q_c = V_{rms}^2/X_C = \omega C V_{rms}^2\)

O capacitor não altera \(P\): ele só encurta o cateto \(Q\) e, com ele, a hipotenusa \(S\).

Correção ao vivo

Valores iniciais = exemplo do próximo slide (1200 W, 220 V, 0,75 → 0,95). Mostre que levar o fp de 0,95 a 1,00 exige quase tanto capacitor quanto de 0,75 a 0,95: por isso não se corrige até o unitário.

Exemplo numérico

Carga de \(P = 1200\) W, fp\(_1 = 0{,}75\) atrasado, \(V_{rms} = 220\) V, \(f = 60\) Hz. Corrigir para fp\(_2 = 0{,}95\) atrasado.

\(Q_1\) \(= 1200\tan 41{,}4° = 1058{,}3\ \text{var}\) \(\theta_1 = \arccos 0{,}75\); \(S_1 = 1600\) VA

\(Q_2\) \(= 1200\tan 18{,}2° = 394{,}4\ \text{var}\) \(\theta_2 = \arccos 0{,}95\); \(S_2 = 1263\) VA

\(Q_c\) \(= 1058{,}3 - 394{,}4 = \eq{e}{663{,}9\ \text{var}}\) \(Q_1 - Q_2\)

\(C\) \(= \dfrac{663{,}9}{(2\pi\cdot 60)(220)^2} = \eq{e}{36{,}4\ \mu\text{F}}\) \(Q_c/(\omega V_{rms}^2)\)

\(S\) cai de 1600 para 1263 VA: a mesma potência ativa passa a exigir 21 % menos corrente da rede.

Máxima transferência de potência

• Revisão em valores eficazes

Máxima transferência de potência média

Já vista na Aula 4 com fasores de pico. Fonte de Thévenin \(\mathbf{V}_{th,rms}\), \(\mathbf{Z}_{th} = R_{th}+jX_{th}\):

\[ \mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} \quad\Longrightarrow\quad P_{max} = \frac{|\mathbf{V}_{th,rms}|^2}{4R_{th}} \]

Pico ou eficaz?

Na Aula 4, \(P_{max} = |\mathbf{V}_{th}|^2/(8R_{th})\) com amplitude de pico. Como \(V_{th,rms} = V_{th}/\sqrt2\), as duas expressões coincidem.

Síntese

Resumo das potências em CA

Grandeza	Símbolo	Unidade	Fórmula
Instantânea	\(p(t)\)	W	\(v(t)\,i(t)\)
Ativa (média)	\(P\)	W	\(V_{rms}I_{rms}\cos\theta = R\,I_{rms}^2\)
Reativa	\(Q\)	var	\(V_{rms}I_{rms}\sin\theta = X\,I_{rms}^2\)
Aparente	\(S\)	VA	\(V_{rms}I_{rms} = \sqrt{P^2+Q^2}\)
Complexa	\(\mathbf{S}\)	VA	\(\mathbf{V}_{rms}\mathbf{I}_{rms}^{*} = P+jQ\)
Fator de potência	fp	—	\(P/S = \cos\theta\)

Leitura: Alexander & Sadiku (2013), cap. 11.

Exercícios

1. Uma carga tem \(v(t)=311\cos(377t)\) V e \(i(t)=8\cos(377t+30°)\) A. Calcule \(P\), \(Q\), \(S\), \(\mathbf{S}\) e o fp, classificando sua natureza.
2. Mostre que, para uma carga puramente resistiva, \(p(t)\geq 0\) para todo \(t\) (nunca há retorno de energia à fonte).
3. Uma indústria consome \(P=50\) kW com fp \(=0{,}68\) atrasado, em \(V_{rms}=380\) V e \(f=60\) Hz. Dimensione o banco de capacitores (em \(\mu\)F, em paralelo) para elevar o fp a \(0{,}95\).
4. Explique, usando o triângulo de potências, por que a correção do fator de potência com capacitores não altera a potência ativa consumida pela carga.
5. Duas cargas, \(\mathbf{S}_1 = 3+j4\) kVA e \(\mathbf{S}_2 = 5-j2\) kVA, estão em paralelo, alimentadas pela mesma tensão. Calcule a potência complexa total e o fp resultante. Por que \(S \neq S_1 + S_2\)?

Referências

Alexander, C. K., & Sadiku, M. N. O. (2013). Fundamentos de Circuitos Elétricos (5º ed.). AMGH.

Encerramento

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Campus Universitário de Tucuruí

Faculdade de Engenharia Elétrica

raphaelbt@ufpa.br