O Fluxo Completo de Análise

Nesta aula praticamos o fluxo inteiro de análise, das Aulas 2–4, num único exemplo — e depois em 10 exercícios (5 de 1ª ordem, 5 de 2ª ordem):

  1. Sistema físico — identificar entrada, saída, parâmetros
  2. Equação diferencial — leis físicas (Newton, Kirchhoff, …)
  3. Função de transferência — transformada de Laplace, condições iniciais nulas
  1. Forma padrão — \(K/(\tau s+1)\) ou \(\omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)\)
  2. Análise — classificação, polos, \(\zeta\), \(\omega_n\)
  3. Resposta ao degrau — fórmulas + verificação no MATLAB

Tip

Em cada etapa, o MATLAB confirma a conta feita à mão — é assim que você audita seu próprio resultado.

Exemplo Resolvido — Sistema Físico

Massa-mola-amortecedor horizontal: força de entrada \(F(t)\) aplicada à massa; saída é o deslocamento \(x(t)\) em relação ao equilíbrio (a mesma planta animada em Python na pasta Animes/).

  • Massa \(m = 1\,\)kg
  • Amortecimento \(b = 2\,\)N·s/m
  • Rigidez da mola \(k = 25\,\)N/m

Note

Sistema massa-mola-amortecedor sem integrador puro — é o protótipo físico de um sistema de 2ª ordem padrão, o mesmo usado na Aula 4.

Exemplo Resolvido — Equação Diferencial

Pela 2ª Lei de Newton, somando as forças sobre a massa (mola, amortecedor, força aplicada):

\[m\ddot{x}(t) + b\dot{x}(t) + kx(t) = F(t)\]

Substituindo os valores numéricos:

\[\ddot{x}(t) + 2\dot{x}(t) + 25x(t) = F(t)\]

Condições iniciais nulas (\(x(0)=0\), \(\dot x(0)=0\)) — sistema parte do repouso, em equilíbrio.

Exemplo Resolvido — Função de Transferência

Aplicando a transformada de Laplace (condições iniciais nulas):

\[ms^2X(s) + bsX(s) + kX(s) = F(s) \quad\implies\quad \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2+bs+k}\]

\[G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{s^2+2s+25}\]

Exemplo Resolvido — Forma Padrão

Dividindo numerador e denominador por \(k\) para isolar o ganho estático \(K=1/k\):

\[G(s) = \frac{1/k}{\frac{m}{k}s^2+\frac{b}{k}s+1} = \frac{K\,\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]

com \(\omega_n = \sqrt{k/m}\), \(\zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{mk}}\), \(K=1/k\). Para os valores dados:

\[\boxed{\omega_n = \sqrt{25} = 5\text{ rad/s} \qquad \zeta = \frac{2}{2\sqrt{25}} = 0{,}2 \qquad K = \frac{1}{25} = 0{,}04}\]

Exemplo Resolvido — Análise

Com \(\zeta = 0{,}2 < 1\): sistema subamortecido. Polos:

\[s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -1 \pm j4{,}90\]

Especificações da resposta ao degrau (fórmulas da Aula 4): \[M_p = e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \approx 52{,}7\% \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_d} \approx 0{,}641\text{ s} \qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} = 4\text{ s (2\%)}\]

Warning

\(\zeta=0{,}2\) é pouco amortecido — sobressinal grande (52,7%). Na prática, ajustaríamos \(b\) (mais atrito) para reduzir \(M_p\).

Exemplo Resolvido — Resposta ao Degrau

Para um degrau de força \(F(t) = F_0\,u(t)\), o valor final é \(x_{ss} = K F_0 = F_0/k\) (Lei de Hooke em regime: a mola sozinha sustenta a força aplicada). Com \(F_0=1\,\)N:

\[x(t) = 0{,}04\left[1 - \frac{e^{-t}}{\sqrt{1-0{,}2^2}}\sin(4{,}90\,t+\phi)\right], \qquad \phi=\cos^{-1}(0{,}2)\]

Tip

Confira: \(x(\infty) = 0{,}04\,\)m \(= 1/k\) — a massa se desloca até a mola equilibrar a força de 1 N aplicada.

Exemplo Resolvido — Verificação no MATLAB

% Sistema massa-mola-amortecedor: m*x'' + b*x' + k*x = F(t)
m = 1; b = 2; k = 25;

G = tf(1, [m b k]);         % X(s)/F(s) = 1 / (m s^2 + b s + k)

[wn, zeta] = damp(G)        % confere wn = 5 rad/s, zeta = 0.2

figure;
step(G);
grid on;
title('Resposta ao degrau unitário de força');

S = stepinfo(G)             % SettlingTime, Overshoot, PeakTime, RiseTime
xss = dcgain(G)             % ganho estático: deve ser 1/k = 0.04

Note

stepinfo usa por padrão o critério de acomodação de 2% — compare S.SettlingTime com o \(t_s\approx4\,\)s calculado à mão.

Exercícios — Sistemas de Primeira Ordem

  1. Circuito RC: \(R=1\,\text{k}\Omega\), \(C=100\,\mu\text{F}\), entrada \(v_i(t)\), saída \(v_o(t)\) no capacitor. Obtenha a EDO, a FT \(V_o(s)/V_i(s)\) na forma padrão \(K/(\tau s+1)\), e o tempo de acomodação (2%) para um degrau de 5 V. Confira com tf, step e stepinfo no MATLAB.
  2. Termômetro: modelo de 1ª ordem que leva 30 s para atingir 95% de uma variação em degrau de temperatura. Determine \(\tau\) e escreva \(G(s)\). Se o ambiente variar em rampa de \(2\,^\circ\text{C/min}\), qual o erro do termômetro em regime?
  3. Tanque de nível: vazão de entrada \(q_i(t)\), resistência de saída \(R\), capacitância \(C\) (área do tanque). Deduza a EDO do nível \(h(t)\), coloque na forma padrão \(K/(\tau s+1)\) e determine o novo nível em regime para um degrau na vazão de entrada.
  4. Motor CC sem carga (aproximação de 1ª ordem, desprezando a indutância de armadura): a partir de \(R_a\), \(K_t\), \(K_b\), \(J\) e do atrito viscoso \(b\), obtenha \(\tau\) e o ganho em regime da velocidade angular em relação à tensão de armadura. Verifique com valores típicos no MATLAB.
  5. Dado \(G(s) = \dfrac{4}{2s+8}\), reescreva na forma padrão \(K/(\tau s+1)\), identifique \(K\) e \(\tau\), esboce a resposta ao degrau unitário (valor inicial, final e \(t_s\)) e confira com step(G).

Exercícios — Sistemas de Segunda Ordem

  1. Massa-mola-amortecedor: \(m=2\,\)kg, \(b=4\,\)N·s/m, \(k=50\,\)N/m. Obtenha a EDO, a FT, a forma padrão (\(\omega_n\), \(\zeta\)), classifique o amortecimento, calcule os polos, \(M_p\), \(t_p\), \(t_s\), \(t_r\) da resposta ao degrau, e confira tudo no MATLAB.
  2. Circuito RLC série (saída na tensão do capacitor): dados \(R\), \(L\), \(C\), obtenha a FT e a forma padrão, e determine se a resposta é sub, sobre ou criticamente amortecida.
  3. Servo de posição: \(C(s)/R(s) = \omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)\) com \(\zeta=0{,}3\), \(\omega_n=8\,\)rad/s. Calcule \(M_p\), \(t_p\), \(t_s\) (2%), \(t_r\) à mão e confira com step e stepinfo.
  4. Identificação a partir de dados experimentais: um sistema de 2ª ordem tem, na resposta ao degrau medida, \(M_p=15\%\) e \(t_p=0{,}5\,\)s. Determine \(\zeta\), \(\omega_n\) e escreva \(G(s)\) na forma padrão. Reconstrua a resposta no MATLAB e compare visualmente com os dados.
  5. Projeto: determine \(\zeta\) e \(\omega_n\) de um sistema de 2ª ordem padrão para \(M_p\leq5\%\) e \(t_s\leq1\,\)s (critério de 2%). Escreva a FT resultante e confirme as especificações simulando no MATLAB.

Tip

Nos exercícios de identificação e projeto (2ª ordem, itens 4 e 5), use as fórmulas de \(M_p\leftrightarrow\zeta\) e \(t_s=4/(\zeta\omega_n)\) da Aula 4 antes de simular — o MATLAB confirma sua conta, não a substitui.

Referências