Erro de Regime Permanente

Sistemas de Ordem Superior

A maioria dos sistemas reais tem mais de dois polos (e possivelmente zeros). A resposta ao degrau de um sistema de ordem \(n\) com polos distintos é uma soma de modos:

\[y(t) = K + \sum_{i} A_i\,e^{-\sigma_i t} + \sum_{j} B_j\,e^{-\sigma_j t}\cos(\omega_{d,j} t + \phi_j)\]

• Cada polo real contribui um termo exponencial; cada par complexo conjugado, um termo oscilatório amortecido
• As fórmulas de \(M_p\), \(t_p\), \(t_s\) da Aula 4 não se aplicam diretamente — mas frequentemente podemos aproximar o sistema por um par de polos dominantes

Polos Dominantes

• Modos associados a polos mais à esquerda decaem muito mais rápido (\(e^{-\sigma t}\)) e contribuem pouco após o transitório inicial
• Se a dominância se verifica, o sistema completo pode ser aproximado por um sistema de 2ª ordem equivalente, usando as fórmulas já conhecidas

Aproximação por Polos Dominantes — Exemplo

Sistema completo (4ª ordem) vs. aproximação por polos dominantes (2ª ordem)

O sistema de 4ª ordem tem um par de polos dominantes com \(\zeta\omega_n \approx 0{,}5\) e dois polos rápidos adicionais — a resposta de 2ª ordem captura bem a forma geral, com pequeno desvio no início.

Cancelamento Polo-Zero

Quando um zero está muito próximo de um polo não-dominante, seus efeitos se aproximam de um cancelamento mútuo — o resíduo associado àquele modo torna-se pequeno e sua contribuição à resposta é desprezível.

Efeito de um Zero Adicional

Efeito de um zero adicional (no semiplano esquerdo) na resposta ao degrau

• Um zero em \(s=-a\) (SPE) aumenta o sobressinal e reduz o tempo de subida
• Quanto mais próximo do eixo \(j\omega\) (menor \(a\) em relação a \(\zeta\omega_n\)), maior o efeito

Zeros de Fase Não-Mínima

Se o zero estiver no semiplano direito (\(s=+a\), \(a>0\)), o sistema é dito de fase não-mínima:

\[G(s) = \frac{\omega_n^2(1 - s/a)}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]

• A resposta ao degrau apresenta um “undershoot” inicial: a saída parte na direção oposta à referência antes de convergir
• Fenômeno comum em: aeronaves (manobra de arfagem), sistemas com atraso de transporte aproximado, alguns processos químicos

Efeito de um Polo Real Adicional

Efeito de um polo real adicional na resposta ao degrau

• Um polo real adicional sempre reduz o sobressinal e aumenta o tempo de subida (resposta mais lenta)
• Se o polo extra estiver longe à esquerda (muito mais rápido que os dominantes), seu efeito é desprezível — validação prática do critério de dominância

Resumo dos Efeitos

Erro de Regime Permanente

\[e(t) = r(t)-y(t) \qquad\qquad e_{ss} = \lim_{t\to\infty} e(t) \overset{\text{TVF}}{=} \lim_{s\to 0} s\,E(s) = \lim_{s\to0}\frac{s\,R(s)}{1+G(s)}\]

Malha Aberta × Malha Fechada — Por que o Ganho Importa

Tipo de Sistema e Constantes de Erro

Construindo a Tabela a partir do TVF

Aplicando \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR(s)}{1+G(s)}\) a cada par (tipo, entrada) com \(R(s)=A/s\), \(A/s^2\), \(A/s^3\):

Exemplo 1 — 1ª Ordem, Ganho Proporcional \(K\)

\[\text{Tipo 0}\qquad K_p = K \qquad e_{ss,\text{degrau}} = \frac{1}{1+K}\]

Exemplo 1 — Resposta ao Degrau para Vários \(K\)

Erro ao degrau encolhe com \(K\), mas nunca chega a zero (tipo 0)

Exemplo 2 — 2ª Ordem: Integrador + Polo Real, Ganho \(K\)

\[\text{Tipo 1}\qquad K_v = \frac{K}{p} \qquad e_{ss,\text{degrau}} = 0 \qquad e_{ss,\text{rampa}} = \frac{p}{K}\]

Exemplo 2 — Resposta à Rampa para Vários \(K\)

Erro ao degrau é sempre zero; erro à rampa encolhe com \(K\), mas nunca some (tipo 1)

O Limite do Ganho Proporcional

Realimentação Não-Unitária

Se \(H(s)\neq1\) (ex.: ganho do sensor), o erro é sobre o sinal atuante \(E(s)=R(s)-H(s)Y(s)\) — redesenhe com realimentação unitária equivalente antes de aplicar \(K_p\), \(K_v\), \(K_a\).

Estabilidade: Pré-Requisito para o Erro de Regime Permanente

O TVF e as constantes de erro só são válidos se a malha fechada for estável — caso contrário \(e(t)\) não converge e “erro de regime permanente” não tem sentido.

Antes de calcular \(e_{ss}\), é preciso verificar a estabilidade — e, quando há um ganho \(K\) ajustável, descobrir para quais \(K\) a malha fechada é estável. Esse é o tema da próxima aula: Estabilidade e Critério de Routh-Hurwitz (Aula 7).

Exercícios

1. Um sistema tem polos em \(s=-1\pm j2\) e \(s=-8\). Verifique se o critério de dominância (fator 5) é satisfeito e estime \(M_p\) e \(t_s\) usando a aproximação de 2ª ordem.
2. Repita o exercício anterior para polos dominantes em \(s=-1\pm j2\) e um terceiro polo em \(s=-3\). A aproximação ainda é válida? Justifique.
3. Explique, em termos de resíduos da expansão em frações parciais, por que um zero muito próximo de um polo reduz a contribuição do modo associado a esse polo.
4. Descreva um exemplo físico (além de aeronaves) em que um zero de fase não-mínima é relevante, e explique a consequência prática do undershoot.
5. Um sistema de 2ª ordem com \(\zeta=0{,}5\), \(\omega_n=2\) rad/s ganha um zero adicional em \(s=-1\). Qualitativamente, como isso altera \(M_p\) e \(t_r\) em relação ao sistema original?
6. Para \(G(s) = \dfrac{20}{(s+2)(s+5)}\) (malha aberta, realimentação unitária), classifique o tipo, calcule \(K_p\) e o erro de regime permanente ao degrau unitário.
7. Para \(G(s) = \dfrac{K}{s^2(s+3)}\), classifique o tipo e determine o erro para entradas degrau, rampa e parábola unitárias, para qualquer \(K>0\).
8. Um sistema tipo 1 deve ter \(e_{ss}\leq0{,}05\) para uma rampa de inclinação 2. Determine o valor mínimo de \(K_v\) necessário.