Onde Estamos

1ª ordem

\[G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\]

2ª ordem

\[G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]

Duas perguntas novas

  1. E se o sistema tiver 3, 4 ou mais polos, e também zeros?
  2. E se algum polo estiver à direita do eixo imaginário?

Sistemas de Ordem Superior

\[G(s) = \frac{b_m s^m + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_1 s + a_0} = \frac{K\,(s+z_1)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)\cdots(s+p_n)}, \qquad m\leq n\]

De onde vêm tantos polos?

Cada armazenador de energia independente (indutor, capacitor, massa, mola, inércia, tanque) acrescenta um polo — e cada controlador ou sensor que colocamos na malha também. Ordem alta é a regra, não a exceção.

Exemplo em Malha Aberta: Motor CC (Posição)

Elétrico + mecânico + integrador da posição \(\Rightarrow\) 3 polos.

Exemplo em Malha Fechada: Planta + PI + Sensor

Planta de 2ª ordem, mas a malha fechada tem \(2+1+1=\) 4 polos.

Polos e Zeros de um Sistema de 4ª Ordem

Quatro polos (\(-1\), \(-1\pm j2\), \(-6\)), um zero (\(-3\)), ganho DC \(G(0)=\frac{10\cdot3}{1\cdot5\cdot6}=1\).

A Resposta é uma Soma de Modos

Em frações parciais, \(Y(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s}\) tem um termo para cada polo:

\[Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} - \frac{1/29}{s+6} + \frac{1}{29}\,\frac{(s+1)-34}{(s+1)^2+4}\]

\[y(t) = 1 \;-\; e^{-t} \;-\; \tfrac{1}{29}e^{-6t} \;+\; \tfrac{1}{29}e^{-t}\big(\cos 2t - 17\sin 2t\big)\]

O termo \(1\) vem da entrada; os demais são os modos naturais.

Observação-chave

Os polos definem a forma de cada modo; os zeros só alteram os pesos. A convergência é uma questão exclusivamente dos polos.

Cada Polo, um Modo

O que é Estabilidade? — Intuição

Um sistema é estável quando, retirado do equilíbrio por uma perturbação, ele retorna ao equilíbrio. É instável quando a menor perturbação o leva para cada vez mais longe.

Definição BIBO

Estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output)

Um sistema é BIBO-estável se toda entrada limitada produz uma saída limitada.

Para sistemas LIT:

\[\text{BIBO-estável} \iff \text{todos os polos de } G(s) \text{ têm } \text{Re}(s)<0\]

Um sistema marginalmente estável não é BIBO-estável: uma entrada senoidal na frequência do polo sobre o eixo \(j\omega\) produz saída que cresce sem limite (ressonância).

Localização dos Polos e a Resposta ao Impulso

As Três Regiões do Plano \(s\)

Critério de estabilidade pelos polos

  • Estável: todos os polos com \(\text{Re}(s)<0\)
  • Marginalmente estável: nenhum polo no SPD e polos simples sobre o eixo \(j\omega\)
  • Instável: algum polo no SPD, ou polos repetidos sobre o eixo \(j\omega\)

Exemplo — Classifique

a) \(\;\dfrac{10}{(s+1)(s+2)(s+5)}\) \(\;\to\) estável


b) \(\;\dfrac{s-2}{(s+1)(s+3)}\) \(\;\to\) estável (zero no SPD não importa)


c) \(\;\dfrac{5}{s\,(s+2)(s^2+2s+10)}\) \(\;\to\) marginal

d) \(\;\dfrac{1}{(s+1)(s^2+9)^2}\) \(\;\to\) instável (duplos em \(\pm j3\))


e) \(\;\dfrac{s+1}{(s-1)(s+4)}\) \(\;\to\) instável (polo em \(+1\))


f) \(\;\dfrac{4}{s^2(s+1)}\) \(\;\to\) instável (duplo na origem)

Estabilidade em Malha Fechada

Com \(G(s)=N(s)/D(s)\):

\[H(s)=\frac{K\,G(s)}{1+K\,G(s)}=\frac{K\,N(s)}{D(s)+K\,N(s)} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\Delta(s)=D(s)+K\,N(s)}\]

Equação característica

Os polos de malha fechada são as raízes de \(\Delta(s)=0\): dependem de \(K\) e não são os polos de malha aberta.

Exemplo Motivador: Ganho Variável

\[G(s)=\frac{1}{s(s+2)(s+4)} \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta(s)=s^3+6s^2+8s+K\]

Critério de Routh-Hurwitz: a Tabela

Sem calcular raízes: basta organizar os coeficientes de \(\Delta(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0\) numa tabela.

\[ \begin{array}{c|cccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & \cdots & \\ s^{n-3} & c_1 & \cdots & & \\ \vdots & \vdots & & & \\ s^0 & \ast & & & \end{array} \]

  1. Linhas \(s^n\) e \(s^{n-1}\): coeficientes alternados
  2. Cada elemento novo é um “produto cruzado” das duas linhas de cima, dividido pelo pivô:

\[b_1 = \frac{a_{n-1}a_{n-2}-a_n\,a_{n-3}}{a_{n-1}}\]

Critério de Routh-Hurwitz: a Regra

Regra

O número de raízes no SPD é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna da tabela.

\[\text{Estável} \iff \text{todos os elementos da 1ª coluna têm o mesmo sinal}\]

Simplificando as contas

Uma linha inteira pode ser multiplicada ou dividida por uma constante positiva — os sinais da 1ª coluna não mudam.

Routh — Exemplo Passo a Passo

\(\Delta(s)=s^4+2s^3+3s^2+4s+5\)

\[ \begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 3 & 5 \\ s^3 & 2 & 4 & 0 \\ s^2 & \mathbf{1} & 5 & \\ s^1 & \color{red}{\mathbf{-6}} & 0 & \\ s^0 & \mathbf{5} & & \end{array} \]

\[b_1=\frac{2\cdot3-1\cdot4}{2}=1,\qquad b_2=\frac{2\cdot5-1\cdot0}{2}=5\]

\[c_1=\frac{1\cdot4-2\cdot5}{1}=-6,\qquad d_1=\frac{(-6)\cdot5-1\cdot0}{-6}=5\]

1ª coluna: \(\;+1,\;+2,\;+1,\;\color{red}{-6},\;+5\) \(\;\Rightarrow\;\) duas trocas (\(+1\to-6\) e \(-6\to+5\)) \(\;\Rightarrow\;\) 2 polos no SPD.

Conferindo: raízes \(-1{,}29\pm j0{,}86\) e \(\mathbf{+0{,}29\pm j1{,}42}\) ✓

Faixa de \(K\) — Exemplo 1 (3ª Ordem)

\(G(s)=\dfrac{1}{s(s+2)(s+4)}\) com ganho \(K\): \(\qquad\Delta(s)=s^3+6s^2+8s+K\)

\[ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 8 \\ s^2 & 6 & K \\ s^1 & \dfrac{48-K}{6} & 0\\[8pt] s^0 & K & \end{array} \]

Exigindo 1ª coluna positiva:

  • linha \(s^1\): \(\;48-K>0 \;\Rightarrow\; K<48\)
  • linha \(s^0\): \(\;K>0\)

\[\boxed{0<K<48}\]

Ganho Crítico e Frequência de Oscilação

Em \(K=K_{cr}=48\), a linha \(s^1\) fica inteira nula. O polinômio auxiliar vem da linha de cima (\(s^2\)):

\[P(s)=6s^2+48=0 \quad\Longrightarrow\quad s=\pm j\sqrt8\approx\pm j2{,}83 \text{ rad/s}\]

  • \(K<48\): os 3 polos no SPE
  • \(K=48\): um par sobre o eixo \(j\omega\) — oscilação sustentada, período \(\approx2{,}2\) s
  • \(K>48\): o par entra no SPD — instável

Exemplo 2 — 4ª Ordem com Zero

\(G(s)=\dfrac{s+3}{s(s+1)(s+2)(s+5)}\) com ganho \(K\) \(\qquad\Longrightarrow\qquad \Delta(s)=s^4+8s^3+17s^2+(K+10)\,s+3K\)

\[ \begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 17 & 3K \\ s^3 & 8 & K+10 & \\ s^2 & \frac{126-K}{8} & 3K & \\[4pt] s^1 & \frac{1260-76K-K^2}{126-K} & & \\[4pt] s^0 & 3K & & \end{array} \]

Condições (1ª coluna \(>0\)):

  1. \(s^2\): \(\;K<126\)
  2. \(s^1\): \(\;K^2+76K-1260<0\), ou seja, \((K-14)(K+90)<0\)
  3. \(s^0\): \(\;K>0\)

\[\boxed{0<K<14}\]

Em \(K=14\): \(\;14s^2+42=0\Rightarrow s=\pm j\sqrt3\)

A condição mais restritiva vem da linha \(s^1\), não da \(s^2\).

Exemplo 3 — Planta Instável

\(G(s)=\dfrac{s+1}{s(s-1)(s+6)}\) — polo em \(s=+1\): instável em malha aberta.

\[\Delta(s)=s^3+5s^2+(K-6)s+K\]

\[ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & K-6 \\ s^2 & 5 & K \\ s^1 & \frac{4K-30}{5} & 0\\[4pt] s^0 & K & \end{array} \]

  • \(s^1\): \(\;4K-30>0\Rightarrow K>7{,}5\)
  • \(s^0\): \(\;K>0\)

\[\boxed{K>7{,}5}\]

Em \(K=7{,}5\): \(\;5s^2+7{,}5=0\Rightarrow s=\pm j1{,}22\)

Ganho mínimo

A faixa estável nem sempre começa em \(K=0\): aqui é preciso ganho suficiente para “segurar” o modo instável. Compare com o Exemplo 1, em que ganho demais desestabiliza.

Casos Especiais da Tabela de Routh

Duas situações impedem continuar a tabela da forma usual:

Caso 1 — Zero na 1ª coluna

O primeiro elemento de uma linha é zero, mas o resto da linha não é \(\Rightarrow\) o próximo pivô seria zero.

Solução: trocar o zero por um \(\epsilon>0\) pequeno e analisar os sinais com \(\epsilon\to0^+\).

Caso 2 — Linha inteira nula

Todos os elementos de uma linha são zero \(\Rightarrow\) raízes simétricas em relação à origem (\(\pm\sigma\), \(\pm j\omega\), \(\pm\sigma\pm j\omega\)).

Solução: polinômio auxiliar \(P(s)\) com a linha de cima; trocar a linha nula pelos coeficientes de \(dP/ds\).

Caso Especial 1 — Zero na Primeira Coluna

\(\Delta(s)=s^5+2s^4+3s^3+6s^2+5s+3\)

\[ \begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 3 & 5\\ s^4 & 2 & 6 & 3\\ s^3 & 0\to\epsilon & \frac{7}{2} & \\[4pt] s^2 & \frac{6\epsilon-7}{\epsilon} & 3 & \\[4pt] s^1 & \frac{42\epsilon-49-6\epsilon^2}{12\epsilon-14} & & \\[4pt] s^0 & 3 & & \end{array} \]

Com \(\epsilon\to0^+\), a 1ª coluna fica:

\[+1,\;\;+2,\;\;+\epsilon,\;\;\color{red}{-\tfrac{7}{\epsilon}},\;\;+\tfrac{7}{2},\;\;+3\]

2 trocas \(\Rightarrow\) 2 polos no SPD (de fato: \(0{,}34\pm j1{,}51\)).

Alternativa: inverter a ordem dos coeficientes (\(s\to1/s\)): \(3s^5+5s^4+6s^3+3s^2+2s+1\) tem o mesmo nº de raízes no SPD.

Caso Especial 2 — Linha Inteira Nula

\(\Delta(s)=s^5+7s^4+6s^3+42s^2+8s+56\)

\[ \begin{array}{c|ccc|l} s^5 & 1 & 6 & 8 & \\ s^4 & 1 & 6 & 8 & \text{(era } 7\;\,42\;\,56\text{; }\div7)\\ s^3 & 0 & 0 & & \leftarrow\text{linha nula!}\\ s^3 & 1 & 3 & & \leftarrow dP/ds\;(\div4)\\ s^2 & 3 & 8 & & \\ s^1 & \frac13 & & & \\ s^0 & 8 & & & \end{array} \]

  1. Polinômio auxiliar (linha \(s^4\)): \(\;P(s)=s^4+6s^2+8\)
  2. \(\dfrac{dP}{ds}=4s^3+12s\) \(\;\to\;\) nova linha \(s^3\)
  3. 1ª coluna: \(1,1,1,3,\tfrac13,8\) — nenhuma troca
  4. \(P(s)=(s^2+2)(s^2+4)\) \(\Rightarrow\) \(s=\pm j\sqrt2,\;\pm j2\)

Conclusão

Nenhum polo no SPD, 4 polos simples sobre o eixo \(j\omega\) (raízes de \(P\)) e um em \(s=-7\) \(\Rightarrow\) marginalmente estável.

Interpretando a Linha Nula

  • \(P(s)\) é par (só potências pares de \(s\)) \(\Rightarrow\) suas raízes são simétricas em relação à origem, e são também raízes de \(\Delta(s)\)
  • As trocas de sinal da linha de \(P(s)\) para baixo contam quantas raízes de \(P\) estão no SPD
  • Para cada raiz de \(P\) no SPD há uma simétrica no SPE; as que sobram estão sobre o eixo \(j\omega\):

\[\#\{\text{raízes de } P \text{ no eixo } j\omega\} = \text{grau}(P) - 2\times\#\{\text{trocas abaixo de } P\}\]

Ligação com o ganho crítico

Foi o que aconteceu nos Exemplos 1–3: no ganho crítico, a linha \(s^1\) zera e o polinômio auxiliar da linha \(s^2\) dá a frequência de oscilação \(\omega\).

Verificação Numérica

Python (control)

import numpy as np
import control as ct

G = ct.tf([1], [1, 6, 8, 0])
for K in [10, 48, 56]:
    H = ct.feedback(K * G, 1)
    print(K, np.round(ct.poles(H), 3))

np.roots([1, 2, 3, 4, 5])

MATLAB

G = tf(1, [1 6 8 0]);
for K = [10 48 56]
    H = feedback(K*G, 1);
    disp(K), disp(pole(H))
end

roots([1 2 3 4 5])
pzmap(feedback(10*G, 1))

Software × Routh

O computador confirma a estabilidade para um \(K\) de cada vez. O Routh-Hurwitz entrega a faixa inteira de \(K\) de forma analítica — e é isso que usaremos no projeto.

Exercícios (1/2)

  1. Classifique (estável, marginal, instável) pela localização dos polos: (a) \(\dfrac{s+2}{(s+1)(s^2+4s+13)}\); (b) \(\dfrac{3}{s(s^2+9)}\); (c) \(\dfrac{1}{(s^2+1)^2(s+3)}\); (d) \(\dfrac{s-5}{(s+2)(s+6)}\).
  2. Use a tabela de Routh para determinar quantos polos estão no SPD: \(s^3+4s^2+2\); \(\;s^4+2s^3-s^2+3s+1\); \(\;s^3+3s^2+3s+1\); \(\;s^3+s^2+2s+10\).
  3. Encontre a faixa de \(K\) que torna \(s^3+4s^2+5s+K\) estável. Qual a frequência de oscilação no ganho crítico?
  4. Monte a tabela de Routh de \(s^4+3s^3+5s^2+4s+2\) e conclua sobre a estabilidade.
  5. Para \(G(s)=\dfrac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}\) com realimentação unitária, determine a faixa de \(K>0\) para estabilidade, o ganho crítico e a frequência de oscilação.

Exercícios (2/2)

  1. Para \(G(s)=\dfrac{K}{(s-1)(s+2)(s+3)}\) (planta instável), determine a faixa de \(K\) que estabiliza a malha fechada. Por que existe um limite inferior e um superior?
  2. (Caso \(\epsilon\)) Determine o número de raízes no SPD de \(s^4+s^3+2s^2+2s+3\). Repita invertendo a ordem dos coeficientes.
  3. (Linha nula) Para \(s^4+s^3-s-1\), monte a tabela, obtenha o polinômio auxiliar e determine quantas raízes estão no SPD, no SPE e sobre o eixo \(j\omega\).
  4. Explique, com um exemplo, por que um sistema marginalmente estável não é BIBO-estável.
  5. (Ligação com a Aula 6) Para \(G(s)=\dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}\), calcule \(K_v\) e \(e_{ss}\) para rampa unitária. Usando a faixa de estabilidade desta aula, qual é o menor \(e_{ss}\) teoricamente atingível com controle proporcional?