Análise do Sistema de 4ª Ordem

Modelo fornecido

O sistema de 4ª ordem é representado no espaço de estados por:

\[\dot{x}(t) = A\,x(t) + B\,u(t), \qquad y(t) = C\,x(t) + D\,u(t)\]

com as matrizes:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -10 & -35 & -50 & -24 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = 0\]

A função de transferência equivalente é:

\[G(s) = \frac{1}{s^4 + 24s^3 + 50s^2 + 35s + 10}\]

Análise — Estabilidade

Os autovalores de \(A\) - raízes do polinômio característico \(\det(sI - A) = 0\), sã0 os polos de \(G(s)\).

\[\det(sI - A) = s^4 + 24s^3 + 50s^2 + 35s + 10 = 0\]

O sistema é assintoticamente estável se e somente se todos os autovalores possuírem parte real negativa.

% MATLAB
autoval = eig(A);
disp('Autovalores de A:')
disp(autoval)

Análise — Controlabilidade e Observabilidade

A matriz de controlabilidade e a matriz de observabilidade são, respectivamente:

\[\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & A^3B \end{bmatrix}, \qquad \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ CA^3 \end{bmatrix}\]

O sistema é completamente controlável se \(\text{rank}(\mathcal{C}) = n\) e completamente observável se \(\text{rank}(\mathcal{O}) = n\), onde \(n = 4\).

Co = ctrb(A, B);   rankCo = rank(Co);
Ob = obsv(A, C);   rankOb = rank(Ob);
fprintf('rank(Co) = %d\n', rankCo)
fprintf('rank(Ob) = %d\n', rankOb)

Análise — Resposta em Malha Aberta e Integrador

Resposta ao degrau em malha aberta:

figure;
step(sys);
title('Resposta ao Degrau — Malha Aberta')
grid on

Verificação de integrador na malha direta:

Um integrador corresponde a um polo de \(G(s)\) em \(s = 0\).

[z, p, k] = zpkdata(tf(sys), 'v');
fprintf('Polos em s = 0: %d\n', sum(abs(p) < 1e-6))

Projeto do Controlador por Realimentação de Estados

Realimentação de Estados — Lei de Controle

A lei de controle por realimentação de estados é dada por:

\[u(t) = -K\,x(t) + N\,r(t)\]

onde \(K \in \mathbb{R}^{1 \times n}\) é o vetor de ganhos e \(N\) é o ganho de pré-compensação para rastreamento de referência.

A dinâmica de malha fechada fica:

\[\dot{x} = (A - BK)\,x + BN\,r, \qquad y = Cx\]

Os polos de malha fechada são os autovalores de \(A - BK\), que podem ser arbitrariamente alocados desde que o sistema seja controlável.

Especificação dos Polos Desejados

Dado um par dominante com \(\zeta\) e \(\omega_n\) desejados:

\[p_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}\]

Os polos recessivos devem ser colocados 3 a 5 vezes mais rápidos (em módulo da parte real) que os dominantes, para que não interfiram na resposta transitória:

\[p_3,\, p_4 \approx -(3\text{ a }5)\,\zeta\omega_n\]

zeta = 0.7;  wn = 4;
p1 = -zeta*wn + 1j*wn*sqrt(1 - zeta^2);
p2 = conj(p1);
p3 = -5*wn;   p4 = -6*wn;   % recessivos
polos_mf = [p1; p2; p3; p4];

Cálculo dos Ganhos e Pré-compensação

%% PARTE 2 — Projeto do Controlador

% Verificar controlabilidade antes de prosseguir
if rank(ctrb(A, B)) == size(A, 1)
    K = place(A, B, polos_mf);
    fprintf('K = '); disp(K)
else
    error('Sistema NÃO completamente controlável!')
end

% Confirmar alocação
disp('Autovalores de (A - BK):')
disp(eig(A - B*K))

% Ganho de pré-compensação (erro nulo em regime permanente)
N = -1 / (C * inv(A - B*K) * B);
fprintf('N = %.4f\n', N)

Simulação e Gráficos

% Malha fechada
Acl = A - B*K;   Bcl = B*N;
sys_mf = ss(Acl, Bcl, C, D);
t = 0:0.001:5;

% Resposta ao degrau e sinal de controle
[y_mf, t_out, x_mf] = step(sys_mf, t);
u_mf = N - K * x_mf';

figure;
subplot(2,1,1)
  plot(t_out, y_mf, 'b', 'LineWidth', 2)
  yline(1, 'k--');  title('Saída — Malha Fechada');  grid on
subplot(2,1,2)
  plot(t_out, u_mf(1,:), 'r', 'LineWidth', 2)
  title('Sinal de Controle u(t)');  grid on

Entregáveis — Parte 2:

• Polos de malha fechada escolhidos e justificativa (\(\zeta\), \(\omega_n\))
• Vetor de ganhos \(K\) e confirmação dos autovalores de \((A - BK)\)
• Gráficos de \(y(t)\) e \(u(t)\) — verificar saturação do controle
• Diagrama Simulink com realimentação de estados
• Análise: \(t_s\), \(t_p\), \(\%OS\) obtidos vs. especificados; \(e_{ss}\) após pré-compensação

Projeto do Observador de Luenberger

Observador de Luenberger — Equações

Como em geral os estados \(x(t)\) não são diretamente mensuráveis, projeta-se um observador de ordem plena que estima \(\hat{x}(t)\):

\[\dot{\hat{x}}(t) = A\,\hat{x}(t) + B\,u(t) + L\bigl[y(t) - C\,\hat{x}(t)\bigr]\]

onde \(L \in \mathbb{R}^{n \times 1}\) é o vetor de ganhos do observador.

Definindo o erro de estimação \(e(t) = x(t) - \hat{x}(t)\):

\[\dot{e}(t) = (A - LC)\,e(t)\]

O erro converge para zero se os autovalores de \((A - LC)\) tiverem parte real negativa.

Projeto dos Ganhos do Observador

Por dualidade, o projeto de \(L\) equivale ao projeto de \(K\) para o par \((A^\top,\, C^\top)\):

\[L = \bigl[\texttt{place}(A^\top,\; C^\top,\; \text{polos\_obs})\bigr]^\top\]

Os polos do observador devem ser escolhidos mais rápidos que os do controlador (tipicamente 3 a 5 vezes):

%% PARTE 3 — Projeto do Observador

% Verificar observabilidade
if rank(obsv(A, C)) < size(A, 1)
    error('Sistema NÃO completamente observável!')
end

% Polos do observador (4x mais rápidos)
fator = 4;
polos_obs = fator * real(polos_mf) + 1j * imag(polos_mf);

L = place(A', C', polos_obs)';
fprintf('L = '); disp(L)
disp('Autovalores de (A - LC):')
disp(eig(A - L*C))

Sistema Aumentado: Planta + Observador

O sistema de malha fechada com observador é descrito pelo sistema aumentado de ordem \(2n\):

\[\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{e} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A - BK & BK \\ 0 & A - LC \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ e \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} BN \\ 0 \end{bmatrix} r\]

Os polos de malha fechada são a união dos polos do controlador e dos polos do observador (princípio da separação).

A_aug = [A - B*K,  B*K;
         zeros(4,4), A - L*C];
B_aug = [B*N; zeros(4,1)];
C_aug = [C, zeros(1,4)];
sys_aug = ss(A_aug, B_aug, C_aug, 0);

Simulação: Estados Reais vs. Estimados

Utiliza-se condição inicial assimétrica (\(x(0) = 0\), \(\hat{x}(0) \neq 0\)) para evidenciar a convergência do observador:

x0_aug = [zeros(4,1); 0.5*ones(4,1)];
[y_obs, t_obs, x_obs] = lsim(sys_aug, ones(size(t)), t, x0_aug);

figure;
estados = {'x_1','x_2','x_3','x_4'};
for k = 1:4
    subplot(4, 1, k)
    plot(t_obs, x_obs(:,k),   'b', 'LineWidth', 2); hold on
    plot(t_obs, x_obs(:,4+k), 'r--', 'LineWidth', 2)
    legend('Real','Estimado');  ylabel(estados{k});  grid on
end

Entregáveis — Parte 3:

• Polos do observador e relação com os polos do controlador
• Vetor de ganhos \(L\) e confirmação dos autovalores de \((A - LC)\)
• Gráficos \(x_i(t)\) vs. \(\hat{x}_i(t)\) — convergência do erro \(e(t) \to 0\)
• Diagrama Simulink com controlador e observador integrados

Erro em Regime Permanente e Servomecanismo

Análise do Tipo do Sistema

O tipo de um sistema é definido pelo número de polos de \(G(s)\) na origem.

[~, p, ~] = zpkdata(tf(sys), 'v');
tem_integrador = any(abs(p) < 1e-6);

if tem_integrador
    fprintf('Sistema Tipo >= 1: ess = 0 naturalmente\n')
else
    fprintf('Sistema Tipo 0: necessário servomecanismo\n')
end

Caso A — Sistema com Integrador (Tipo \(\geq 1\))

Se \(G(s)\) possui polo em \(s = 0\), o sistema já integra o erro na malha direta.

Para referência degrau, o erro em regime permanente é nulo por natureza:

\[e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{1 + G(s)} \cdot \frac{1}{s} = 0\]

Neste caso, basta garantir:

• A pré-compensação \(N\) está corretamente calculada para que \(y(\infty) = r\)
• A realimentação de estados não desestabiliza o polo integrador

Caso B — Sistema sem Integrador: Servomecanismo

Se \(G(s)\) não possui polo em \(s = 0\) (Tipo 0), é necessário adicionar um integrador na malha para anular o erro ao degrau.

Define-se a variável de estado integral:

\[\dot{z}_i(t) = r(t) - y(t) = r - Cx\]

O sistema aumentado de ordem \(n+1\) é:

\[\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{z}_i \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} A & 0 \\ -C & 0 \end{bmatrix}}_{\tilde{A}} \begin{bmatrix} x \\ z_i \end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix} B \\ 0 \end{bmatrix}}_{\tilde{B}} u + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}}_{\tilde{B}_r} r\]

A lei de controle passa a ser:

\[u(t) = -K_c\,x(t) - K_i\,z_i(t)\]

Projeto do Servomecanismo

%% PARTE 4 — Servomecanismo (Caso B: Tipo 0)

A_til = [A,          zeros(4,1);
         -C,         0         ];
B_til = [B; 0];

% Escolher polo adicional para o integrador
p5 = -5*wn;
polos_serv = [polos_mf; p5];

% Verificar controlabilidade do sistema aumentado
if rank(ctrb(A_til, B_til)) == size(A_til, 1)
    K_til = place(A_til, B_til, polos_serv);
    Kc = K_til(1:4);   Ki = K_til(5);
    fprintf('Kc = '); disp(Kc)
    fprintf('Ki = %.4f\n', Ki)
else
    error('Sistema aumentado NÃO controlável!')
end

Simulação do Servomecanismo

% Malha fechada do sistema aumentado
Acl_s = A_til - B_til * K_til;
Ccl_s = [C, 0];
sys_serv = ss(Acl_s, [B_til, [zeros(4,1); 1]], Ccl_s, 0);

% Simulação com entrada degrau
[y_serv, t_serv] = step(sys_serv(1,2), t);

% Comparação: com e sem ação integral
figure;
plot(t_out,  y_mf,   'b',  'LineWidth', 2); hold on
plot(t_serv, y_serv, 'r--','LineWidth', 2)
yline(1, 'k:');
legend('Sem integrador','Com integrador (servomecanismo)','Referência')
title('Comparação: Erro em Regime Permanente');  grid on

Entregáveis — Parte 4:

• Identificação do tipo do sistema com justificativa
• Caso A: mostrar \(e_{ss} = 0\) natural; verificar estabilidade interna
• Caso B: ganhos \(K_c\) e \(K_i\); gráfico comparando \(y(t)\) com e sem integrador; análise de wind-up

Orientações para o Simulink

Para cada parte, construir um diagrama Simulink separado (ou subsistemas em um único modelo):

Resumo e Critérios de Avaliação