from manim import * import numpy as np # Cálculo Numérico - Método da Bissecção para raízes de equações transcendentais # Exemplo: f(x) = e^{-x} - sen(x) = 0 (primeira raiz ~ 0.5885) class Bisseccao(Scene): def construct(self): def f(x): return np.exp(-x) - np.sin(x) a0, b0, n_iter = 0.0, 1.5, 6 y_min, y_max = -1.4, 1.5 # Título e equação titulo = Text("Método da Bissecção", font_size=34).to_edge(UP) equacao = MathTex(r"f(x) = e^{-x} - \operatorname{sen}(x) = 0").scale(0.7).next_to(titulo, DOWN, buff=0.2) # --- Gráfico da função (janela ampla: mostra outras raízes fora de [a, b]) --- eixos = Axes( x_range=[-0.3, 4.3, 1], y_range=[y_min, y_max, 0.5], x_length=6.0, y_length=4.4, axis_config={"tip_length": 0.15} ).to_edge(LEFT, buff=0.6).shift(DOWN * 0.8) labels = eixos.get_axis_labels(x_label="x", y_label="f(x)") curva = eixos.plot(f, x_range=[-0.25, 4.2], color=BLUE) # Extremos do intervalo controlados por trackers tracker_a, tracker_b = ValueTracker(a0), ValueTracker(b0) regiao = always_redraw(lambda: Polygon( eixos.c2p(tracker_a.get_value(), y_min), eixos.c2p(tracker_b.get_value(), y_min), eixos.c2p(tracker_b.get_value(), y_max), eixos.c2p(tracker_a.get_value(), y_max), stroke_width=0, fill_color=YELLOW, fill_opacity=0.12 )) def linha_vertical(tracker, cor): return always_redraw(lambda: DashedLine( eixos.c2p(tracker.get_value(), y_min), eixos.c2p(tracker.get_value(), y_max), color=cor, stroke_width=2 )) linha_a = linha_vertical(tracker_a, GREEN) linha_b = linha_vertical(tracker_b, RED) label_a = always_redraw(lambda: MathTex("a", color=GREEN, font_size=32).next_to( eixos.c2p(tracker_a.get_value(), y_min), DOWN, buff=0.15)) label_b = always_redraw(lambda: MathTex("b", color=RED, font_size=32).next_to( eixos.c2p(tracker_b.get_value(), y_min), DOWN, buff=0.15)) # --- Gráfico de convergência: c_n em função da iteração n --- eixos_conv = Axes( x_range=[0, n_iter + 1, 1], y_range=[0.3, 0.85, 0.1], x_length=4.6, y_length=2.9, axis_config={"tip_length": 0.12} ).to_edge(RIGHT, buff=0.6).shift(UP * 1.0) labels_conv = eixos_conv.get_axis_labels(x_label="n", y_label="c_n") # --- Painel de informações (abaixo do gráfico de convergência) --- condicao = MathTex(r"f(a)\,f(b) < 0 \;\Rightarrow\; \exists\ x^* \in [a, b]", font_size=32).to_edge(RIGHT, buff=0.6).shift(UP * 1.0) def painel_iteracao(n, a, b, c): fc = f(c) if f(a) * fc < 0: decisao = r"f(a)\,f(c) < 0 \;\Rightarrow\; b \leftarrow c" else: decisao = r"f(c)\,f(b) < 0 \;\Rightarrow\; a \leftarrow c" return VGroup( MathTex(r"n = %d:\quad c = \frac{a + b}{2} = %.4f" % (n, c), font_size=28), MathTex(r"f(c) = %+.4f" % fc, font_size=28), MathTex(decisao, font_size=28, color=YELLOW), MathTex(r"b - a = %.4f" % (b - a), font_size=28) ).arrange(DOWN, aligned_edge=LEFT, buff=0.28).next_to(eixos_conv, DOWN, buff=0.75).align_to(eixos_conv, LEFT) # Montagem inicial self.add(titulo, equacao, eixos, labels) self.play(Create(curva), run_time=1.5) self.play(FadeIn(regiao, linha_a, linha_b, label_a, label_b), Write(condicao)) # Sinais nos extremos iniciais ponto_fa = Dot(eixos.c2p(a0, f(a0)), color=GREEN) ponto_fb = Dot(eixos.c2p(b0, f(b0)), color=RED) sinal_fa = MathTex("+", color=GREEN, font_size=36).next_to(ponto_fa, UR, buff=0.1) sinal_fb = MathTex("-", color=RED, font_size=36).next_to(ponto_fb, UR, buff=0.1) self.play(FadeIn(ponto_fa, ponto_fb, sinal_fa, sinal_fb)) self.wait(1.5) # A condição sai de cena e entra o gráfico de convergência self.play(FadeOut(ponto_fa, ponto_fb, sinal_fa, sinal_fb, condicao), Create(eixos_conv), FadeIn(labels_conv)) # --- Iterações --- painel_ant = None ponto_conv_ant = None for n in range(1, n_iter + 1): a, b = tracker_a.get_value(), tracker_b.get_value() c = (a + b) / 2 ponto_c = Dot(eixos.c2p(c, f(c)), color=YELLOW) linha_c = DashedLine(eixos.c2p(c, y_min), eixos.c2p(c, f(c)), color=YELLOW, stroke_width=2) label_c = MathTex("c", color=YELLOW, font_size=32).next_to( eixos.c2p(c, y_min), DOWN, buff=0.15) # Ponto novo no gráfico de convergência, ligado ao anterior ponto_conv = Dot(eixos_conv.c2p(n, c), color=YELLOW, radius=0.06) anim_conv = [FadeIn(ponto_conv)] if ponto_conv_ant is not None: anim_conv.append(Create(Line( ponto_conv_ant.get_center(), ponto_conv.get_center(), color=YELLOW, stroke_width=2 ))) painel = painel_iteracao(n, a, b, c) if painel_ant is None: self.play(Create(linha_c), FadeIn(ponto_c, label_c), FadeIn(painel), *anim_conv) else: self.play(Create(linha_c), FadeIn(ponto_c, label_c), ReplacementTransform(painel_ant, painel), *anim_conv) self.wait(1.2) # Atualiza o extremo que perde o lugar para c if f(a) * f(c) < 0: movimento = tracker_b.animate.set_value(c) else: movimento = tracker_a.animate.set_value(c) self.play(movimento, FadeOut(ponto_c, linha_c, label_c), run_time=1.0) painel_ant = painel ponto_conv_ant = ponto_conv # --- Raiz encontrada --- raiz = (tracker_a.get_value() + tracker_b.get_value()) / 2 ponto_raiz = Dot(eixos.c2p(raiz, 0), color=YELLOW, radius=0.09) linha_raiz = DashedLine(eixos_conv.c2p(0, raiz), eixos_conv.c2p(n_iter + 1, raiz), color=GREY_B, stroke_width=2) label_raiz = MathTex(r"x^*", color=GREY_B, font_size=30).next_to( eixos_conv.c2p(n_iter + 1, raiz), RIGHT, buff=0.1) resultado = MathTex(r"x^* \approx %.4f" % raiz, font_size=40, color=YELLOW ).next_to(eixos_conv, DOWN, buff=1.0) self.play(FadeOut(painel_ant, regiao, linha_a, linha_b, label_a, label_b), FadeIn(ponto_raiz), Flash(ponto_raiz, color=YELLOW), Create(linha_raiz), FadeIn(label_raiz)) self.play(Write(resultado)) self.wait(2)