Introdução: Raízes de Funções e Erros Numéricos

O que é Cálculo Numérico?

Grande parte dos modelos de Engenharia — estruturas, circuitos, escoamentos, controle — resulta em equações que não têm solução analítica fechada.

O Cálculo Numérico é o conjunto de técnicas para obter uma aproximação dessa solução, com controle sobre a qualidade do resultado.

Panorama da disciplina

Cada bloco do curso ataca um tipo de valor a aproximar:

Problema motivador — quanto óleo há no tanque?

Modelando o problema

Para um tanque de raio \(r\) e comprimento \(L\), o volume de líquido até a altura \(h\) (\(0 \le h \le 2r\)) é:

\[V(h) = L\left[\, r^{2}\cos^{-1}\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2rh - h^{2}} \,\right]\]

Dado um volume alvo \(V^{*}\), queremos resolver:

\[V(h) = V^{*}\]

Por que não dá para isolar \(h\)?

Para uma equação do 2º grau existe a fórmula de Bhaskara. Até o 4º grau existem fórmulas fechadas (embora complicadas).

Equações que misturam potências com \(\cos\), \(\sin\), \(\exp\), \(\ln\) — como a do tanque — são chamadas transcendentais: quase nunca é possível isolar a incógnita algebricamente.

Conclusão prática: não vamos resolver \(V(h) = V^{*}\) por manipulação algébrica. Vamos aproximar \(h\) numericamente.

Zeros de funções — forma padrão

Qualquer equação \(g(x) = c\) pode ser reescrita como um problema de raiz:

\[f(x) = g(x) - c = 0\]

Graficamente: onde está a raiz?

Voltando ao tanque: definimos \(f(h) = V(h) - V^{*}\). Resolver o problema é achar onde o gráfico cruza o eixo \(h\).

Se conseguirmos dois pontos \(a, b\) com \(f(a)\) e \(f(b)\) de sinais opostos, sabemos que a raiz está entre eles.

Teorema de Bolzano

Se \(f\) é contínua em \([a,b]\) e \(f(a)\,f(b) < 0\), então existe pelo menos uma raiz \(x^{*} \in (a,b)\).

No exemplo do tanque: se um volume abaixo do alvo corresponde a uma altura \(a\) e um volume acima corresponde a uma altura \(b\), a altura certa está em algum ponto entre \(a\) e \(b\).

Método da bisseção

A ideia mais simples possível: dividir o intervalo ao meio, repetidamente, mantendo sempre o lado onde ocorre a troca de sinal.

\[m = \frac{a+b}{2}, \qquad \begin{cases} f(a)\,f(m) < 0 \Rightarrow \text{raiz em } [a,m],\ b \leftarrow m \\ \text{caso contrário} \Rightarrow \text{raiz em } [m,b],\ a \leftarrow m \end{cases}\]

A cada passo, o intervalo que contém a raiz encolhe pela metade — e com ele, a incerteza sobre onde está \(x^{*}\).

Bisseção passo a passo

Para \(f(x) = \cos(x) - x\), com \(f(0) = 1 > 0\) e \(f(1) \approx -0{,}46 < 0\):

A cada linha, o intervalo \([a,b]\) encolhe e \(m\) se aproxima de \(x^{*} \approx 0{,}739085\).

Convergência da bisseção

O intervalo que contém \(x^{*}\) é sempre a metade do anterior — a convergência é garantida, ainda que lenta.

Bisseção em Python — de volta ao tanque

import numpy as np

def bissecao(f, a, b, tol=1e-6, nmax=100):
    for _ in range(nmax):
        m = (a + b) / 2
        if abs(f(m)) < tol:
            return m
        if f(a) * f(m) < 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return m

r, L, V_alvo = 1.5, 6.0, 15.0        # raio, comprimento, volume desejado (m³)

def V(h):
    return L * (r**2 * np.arccos((r - h) / r) - (r - h) * np.sqrt(2*r*h - h**2))

f = lambda h: V(h) - V_alvo
h_estimado = bissecao(f, 0.01, 2*r - 0.01)
print(h_estimado)             # ~1.151 m

O tanque tem óleo até ≈ 1,15 m de altura — obtido sem nunca isolar \(h\) algebricamente.

O mapa dos métodos de zeros

De volta aos erros: o que significa “aproximar bem”?

Na bisseção, paramos quando \(|f(m)| < \text{tol}\) ou quando o intervalo é suficientemente pequeno. Mas o que é “suficientemente pequeno”?

• Toda aproximação numérica carrega um erro — a questão é quantificá-lo e controlá-lo.
• A tolerância que escolhemos não pode ser arbitrariamente pequena: a própria aritmética do computador impõe um limite.

Fontes de erro

A bisseção introduz erro de truncamento: paramos a iteração infinita em um passo finito. O cálculo numérico atua sobre truncamento e arredondamento.

Erro absoluto e relativo

Seja \(\hat{x}\) uma aproximação do valor exato \(x\):

\[E_{\text{abs}} = |x - \hat{x}|, \qquad E_{\text{rel}} = \frac{|x - \hat{x}|}{|x|}\]

O erro relativo é adimensional e mais informativo, pois independe da escala da grandeza.

Ponto flutuante — padrão IEEE 754

Um número é armazenado como \(\;\pm\, (1.f) \times 2^{e}\):

\[\underbrace{s}_{1\text{ bit}} \;\; \underbrace{e}_{11\text{ bits}} \;\; \underbrace{f}_{52\text{ bits}} \qquad (\text{precisão dupla})\]

Os números representáveis não são igualmente espaçados: ficam densos perto de zero e mais esparsos para magnitudes grandes.

Épsilon de máquina

O épsilon de máquina \(\varepsilon_m\) é a distância de \(1\) ao próximo número representável:

\[\varepsilon_m = 2^{-52} \approx 2{,}22 \times 10^{-16}\]

import numpy as np

print(np.finfo(float).eps)    # 2.220446049250313e-16
print(np.finfo(float).max)    # 1.7976931348623157e+308
print(1.0 + np.finfo(float).eps != 1.0)   # True

Cancelamento catastrófico

A subtração de dois números próximos destrói dígitos significativos:

x = 1e-8
ruim = (1 - np.cos(x)) / x**2
# -> 0.0  (errado; exato ~ 0.5)

bom = 0.5 * (np.sinc(x/(2*np.pi)))**2
# -> 0.5  (forma estável)

A reformulação algébrica evita a subtração crítica.

Exemplo — Raízes da equação quadrática

A fórmula clássica sofre cancelamento quando \(b^2 \gg 4ac\) e \(b>0\) (em \(-b + \sqrt{\Delta}\)):

import numpy as np

def raizes(a, b, c):
    d = np.sqrt(b*b - 4*a*c)
    q = -0.5 * (b + np.sign(b) * d)   # evita o cancelamento
    return q / a, c / q

print(raizes(1.0, 1e8, 1.0))   # estável para ambas as raízes

A forma estável calcula uma raiz com sinal seguro e a outra por \(x_1 x_2 = c/a\) — o mesmo problema de raízes, agora sob a ótica da estabilidade numérica.

Condicionamento e propagação

O número de condição mede a sensibilidade da saída a perturbações na entrada:

\[\kappa = \left| \frac{x\, f'(x)}{f(x)} \right|\]

• \(\kappa \gg 1\): problema mal condicionado — pequenos erros são amplificados.
• A escolha do algoritmo (estabilidade) é distinta do condicionamento (propriedade do problema).

Síntese da aula

• Cálculo Numérico existe porque a maioria dos problemas de Engenharia não tem solução fechada — inclusive equações transcendentais simples, como a do tanque.
• Zeros de funções são a porta de entrada: reescrever \(g(x)=c\) como \(f(x)=0\) é uma ideia que se repete o curso todo.
• A bisseção já resolve o problema — de forma lenta, porém confiável.
• Toda aproximação carrega erro; controlá-lo exige entender ponto flutuante, épsilon de máquina e condicionamento.

Exercícios

1. Mostre, em Python, que 0.1 + 0.2 != 0.3 e quantifique o erro absoluto.
2. Calcule \(E_{\text{abs}}\) e \(E_{\text{rel}}\) ao aproximar \(e\) pela série \(\sum_{k=0}^{5} 1/k!\).
3. Avalie \(f(x) = \dfrac{e^x - 1}{x}\) em \(x = 10^{-10}\) e proponha uma forma numericamente estável.
4. Determine \(\kappa\) de \(f(x) = \sqrt{x}\) e discuta seu condicionamento.
5. Implemente a função bissecao do slide anterior e tabule \(a_n, b_n, m_n, f(m_n)\) para \(f(x) = e^{-x} - x\) em \([0,1]\).
6. Para o tanque cilíndrico (\(r=1{,}5\) m, \(L=6\) m), determine o volume correspondente a \(h = 2{,}5\) m e verifique o resultado com scipy.optimize.bisect.