Por que estudar erros?

O computador representa apenas um subconjunto finito dos números reais. Toda simulação de Engenharia carrega erro — a questão é quantificá-lo e controlá-lo.

  • Um método pode convergir na teoria e falhar na aritmética finita.
  • Erros pequenos podem ser amplificados ao longo do cálculo.

Note

O objetivo não é eliminar o erro, mas garantir que ele permaneça abaixo da tolerância exigida pela aplicação.

Fontes de erro

Fonte Origem
Modelagem simplificações físicas do problema
Dados medições e parâmetros de entrada
Truncamento substituir um processo infinito por um finito
Arredondamento representação finita dos números

O cálculo numérico atua sobre os erros de truncamento e arredondamento.

Erro absoluto e relativo

Seja \(\hat{x}\) uma aproximação do valor exato \(x\):

\[E_{\text{abs}} = |x - \hat{x}|, \qquad E_{\text{rel}} = \frac{|x - \hat{x}|}{|x|}\]

O erro relativo é adimensional e mais informativo, pois independe da escala da grandeza.

Tip

Diz-se que \(\hat{x}\) tem \(d\) dígitos significativos corretos quando \(E_{\text{rel}} \lesssim 0{,}5 \times 10^{-d}\).

Ponto flutuante — padrão IEEE 754

Um número é armazenado como \(\;\pm\, (1.f) \times 2^{e}\):

\[\underbrace{s}_{1\text{ bit}} \;\; \underbrace{e}_{11\text{ bits}} \;\; \underbrace{f}_{52\text{ bits}} \qquad (\text{precisão dupla})\]

  • Sinal \(s\);
  • Expoente \(e\) (com viés);
  • Mantissa \(f\) (fração).
  • \(\approx 15\)–\(16\) dígitos decimais;
  • maior valor \(\approx 1{,}8\times 10^{308}\);
  • menor positivo normal \(\approx 2{,}2\times 10^{-308}\).

Épsilon de máquina

O épsilon de máquina \(\varepsilon_m\) é a distância de \(1\) ao próximo número representável:

\[\varepsilon_m = 2^{-52} \approx 2{,}22 \times 10^{-16}\]

import numpy as np

print(np.finfo(float).eps)    # 2.220446049250313e-16
print(np.finfo(float).max)    # 1.7976931348623157e+308
print(1.0 + np.finfo(float).eps != 1.0)   # True

Important

\(0{,}1\) não tem representação exata em binário: 0.1 + 0.2 == 0.3 resulta False.

Cancelamento catastrófico

A subtração de dois números próximos destrói dígitos significativos:

\[\frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad x \to 0\]

Para \(x = 10^{-8}\), o numerador perde precisão: \(\cos x \approx 1\).

x = 1e-8
ruim = (1 - np.cos(x)) / x**2
# -> 0.0  (errado; exato ~ 0.5)

bom = 0.5 * (np.sinc(x/(2*np.pi)))**2
# -> 0.5  (forma estável)

A reformulação algébrica evita a subtração crítica.

Exemplo — Raízes da equação quadrática

A fórmula clássica sofre cancelamento quando \(b^2 \gg 4ac\) e \(b>0\) (em \(-b + \sqrt{\Delta}\)):

import numpy as np

def raizes(a, b, c):
    d = np.sqrt(b*b - 4*a*c)
    q = -0.5 * (b + np.sign(b) * d)   # evita o cancelamento
    return q / a, c / q

print(raizes(1.0, 1e8, 1.0))   # estável para ambas as raízes

A forma estável calcula uma raiz com sinal seguro e a outra por \(x_1 x_2 = c/a\).

Condicionamento e propagação

O número de condição mede a sensibilidade da saída a perturbações na entrada:

\[\kappa = \left| \frac{x\, f'(x)}{f(x)} \right|\]

  • \(\kappa \gg 1\): problema mal condicionado — pequenos erros são amplificados.
  • A escolha do algoritmo (estabilidade) é distinta do condicionamento (propriedade do problema).

Exercícios

  1. Mostre, em Python, que 0.1 + 0.2 != 0.3 e quantifique o erro absoluto.
  2. Calcule \(E_{\text{abs}}\) e \(E_{\text{rel}}\) ao aproximar \(e\) pela série \(\sum_{k=0}^{5} 1/k!\).
  3. Avalie \(f(x) = \dfrac{e^x - 1}{x}\) em \(x = 10^{-10}\) e proponha uma forma numericamente estável.
  4. Determine \(\kappa\) de \(f(x) = \sqrt{x}\) e discuta seu condicionamento.