Vetores no plano

11.1 - Larson & Edwards: Multivariable Calculus

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Grandezas escalares e vetoriais

Grandezas escalares (área, volume, temperatura, massa, tempo) são caracterizadas por um único número real.
Grandezas como força, velocidade e aceleração envolvem magnitude e direção.
São representadas por um segmento de reta orientado \(\overrightarrow{PQ}\), com ponto inicial \(P\) e ponto terminal \(Q\); seu comprimento (magnitude) é \(\|\overrightarrow{PQ}\|\).

Segmentos orientados equivalentes

Segmentos orientados com mesmo comprimento e mesma direção são equivalentes. Um vetor no plano \(\mathbf{v} = \overrightarrow{PQ}\) é o conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes a um dado \(\overrightarrow{PQ}\) — na prática, não se distingue entre o vetor e um de seus representantes.

Figura 11.1 — Um segmento de reta orientado.

Figura 11.2 — Segmentos de reta orientados equivalentes.

Exemplo 1 — representação por segmentos orientados

Sejam \(\mathbf{v}\) o segmento de \((0,0)\) a \((3,2)\) e \(\mathbf{u}\) o segmento de \((1,2)\) a \((4,4)\). Com \(P(0,0), Q(3,2), R(1,2), S(4,4)\), a Fórmula da Distância dá \[\|\overrightarrow{PQ}\| = \|\overrightarrow{RS}\| = \sqrt{13},\] e as inclinações coincidem, \(2/3\) em ambos os casos — logo \(\overrightarrow{PQ}\) e \(\overrightarrow{RS}\) têm mesmo comprimento e mesma direção, e \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{u}\) são equivalentes.

Figura 11.3 — Os vetores \(\mathbf u\) e \(\mathbf v\) são equivalentes.

Vetor em posição padrão

O segmento orientado cujo ponto inicial é a origem é o representante mais conveniente de uma classe de equivalência; diz-se que \(\mathbf{v}\) está em posição padrão, e fica unicamente determinado pelas coordenadas do ponto terminal \(Q(v_1, v_2)\).

Figura 11.4 — Um vetor em posição padrão.

Definição: forma de componentes de um vetor no plano

Definição

Se \(\mathbf{v}\) tem ponto inicial na origem e ponto terminal \((v_1, v_2)\), sua forma de componentes é \(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\). Os números \(v_1, v_2\) são as componentes de \(\mathbf{v}\). Se ambos os pontos estão na origem, \(\mathbf{v}\) é o vetor nulo \(\mathbf{0} = \langle 0, 0 \rangle\).

Dessa definição, \(\mathbf{u} = \mathbf{v}\) sse \(u_1 = v_1\) e \(u_2 = v_2\).

Conversões entre segmento orientado e componentes

Se \(P(p_1,p_2)\) e \(Q(q_1,q_2)\) são os pontos inicial e terminal de \(\overrightarrow{PQ}\), o vetor representado tem forma de componentes \(\mathbf{v} = \langle q_1 - p_1,\, q_2 - p_2 \rangle\), e sua magnitude é \[\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}.\]
Se \(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\), \(\mathbf{v}\) pode ser representado em posição padrão, de \(P(0,0)\) a \(Q(v_1,v_2)\).

A magnitude também é chamada norma de \(\mathbf{v}\); se \(\|\mathbf{v}\| = 1\), \(\mathbf{v}\) é um vetor unitário, e \(\|\mathbf{v}\| = 0\) sse \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\).

Exemplo 2 — forma de componentes e comprimento

Com ponto inicial \(P(3,-7)\) e terminal \(Q(-2,5)\), \(v_1 = q_1-p_1 = -2-3 = -5\) e \(v_2 = q_2-p_2 = 5-(-7) = 12\), logo \[\mathbf{v} = \langle -5, 12 \rangle \quad \text{e} \quad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-5)^2+12^2} = \sqrt{169} = 13.\]

Figura 11.5 — Forma de componentes de \(\mathbf v = \langle -5, 12\rangle\).

Definição: adição e multiplicação por escalar

Definição

Sejam \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\), \(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\) e \(c\) um escalar.

Soma: \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle u_1+v_1,\, u_2+v_2 \rangle\).
Múltiplo escalar: \(c\mathbf{u} = \langle cu_1,\, cu_2 \rangle\).
Negativo: \(-\mathbf{v} = (-1)\mathbf{v} = \langle -v_1, -v_2 \rangle\).
Diferença: \(\mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + (-\mathbf{v}) = \langle u_1-v_1,\, u_2-v_2\rangle\).

Interpretação geométrica das operações

Geometricamente, \(c\mathbf{v}\) tem comprimento \(|c|\) vezes o de \(\mathbf{v}\): mesma direção se \(c>0\), direção oposta se \(c<0\).

A soma \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) — o vetor resultante — é a diagonal do paralelogramo com lados adjacentes \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\); equivalentemente, move-se o ponto inicial de um vetor até o ponto terminal do outro (regra do triângulo).

Figura 11.6 — Multiplicação por escalar.

Soma, múltiplo escalar e subtração

Figura 11.7 — Regra do paralelogramo / regra do triângulo.

Figura 11.8 — Equivalência entre as definições algébrica e geométrica.

Exemplo 3 — operações vetoriais

Com \(\mathbf{v} = \langle -2,5 \rangle\) e \(\mathbf{w} = \langle 3,4 \rangle\):

\(\dfrac{1}{2}\mathbf{v} = \left\langle \dfrac{1}{2}(-2), \dfrac{1}{2}(5)\right\rangle = \left\langle -1, \dfrac{5}{2} \right\rangle\)
\(\mathbf{w} - \mathbf{v} = \langle 3-(-2),\, 4-5 \rangle = \langle 5, -1 \rangle\)
\(\mathbf{v} + 2\mathbf{w} = \langle -2,5\rangle + \langle 6,8\rangle = \langle 4, 13 \rangle\)

Teorema 11.1 — propriedades das operações vetoriais

Teorema 11.1

Para vetores \(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\) no plano e escalares \(c,d\):

\(\mathbf{u}+\mathbf{v} = \mathbf{v}+\mathbf{u}\) (comutativa)
\((\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})\) (associativa)
\(\mathbf{u}+\mathbf{0} = \mathbf{u}\) (identidade aditiva)
\(\mathbf{u}+(-\mathbf{u}) = \mathbf{0}\) (inverso aditivo)
\(c(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u}\)
\((c+d)\mathbf{u} = c\mathbf{u}+d\mathbf{u}\) (distributiva)
\(c(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u}+c\mathbf{v}\) (distributiva)
\(1\mathbf{u} = \mathbf{u}\), \(\;0\mathbf{u} = \mathbf{0}\)

Qualquer conjunto de vetores (com escalares) que satisfaça essas oito propriedades é um espaço vetorial — os oito itens são os axiomas de espaço vetorial, e o teorema afirma que os vetores do plano (com os reais) formam um.

Teorema 11.2 — comprimento de um múltiplo escalar

Teorema 11.2

Para vetor \(\mathbf{v}\) e escalar \(c\): \(\|c\mathbf{v}\| = |c|\,\|\mathbf{v}\|\).

Teorema 11.3 — vetor unitário na direção de \(\mathbf v\)

Teorema 11.3

Se \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\), \[\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}\] tem comprimento \(1\) e mesma direção que \(\mathbf{v}\). Esse processo é a normalização de \(\mathbf{v}\).

Desigualdade triangular

Em geral o comprimento de uma soma não é a soma dos comprimentos: com \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) como dois lados de um triângulo, o terceiro lado tem comprimento \(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|\), donde a \[\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| \le \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|,\] com igualdade sse \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) têm a mesma direção (provada via produto escalar no Exercício 91 de §11.3).

Figura 11.9 — Desigualdade triangular.

Exemplo 4 — vetor unitário

Para \(\mathbf{v} = \langle -2, 5 \rangle\), pelo Teorema 11.3, \[\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{\langle -2,5\rangle}{\sqrt{(-2)^2+5^2}} = \frac{1}{\sqrt{29}}\langle -2,5\rangle = \left\langle \frac{-2}{\sqrt{29}}, \frac{5}{\sqrt{29}} \right\rangle,\] de comprimento \(1\): \(\sqrt{(-2/\sqrt{29})^2 + (5/\sqrt{29})^2} = \sqrt{4/29+25/29} = \sqrt{29/29} = 1\).

Os vetores \(\mathbf i\) e \(\mathbf j\)

Os vetores unitários \(\mathbf{i} = \langle 1,0\rangle\) e \(\mathbf{j} = \langle 0,1\rangle\) são os vetores unitários padrão do plano. Todo vetor se escreve unicamente como combinação deles: \[\mathbf{v} = \langle v_1,v_2\rangle = v_1\langle 1,0\rangle + v_2\langle 0,1\rangle = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j}.\] Diz-se que \(\mathbf{v} = v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}\) é uma combinação linear de \(\mathbf{i}\) e \(\mathbf{j}\), com componentes horizontal \(v_1\) e vertical \(v_2\).

Figura 11.10 — Vetores unitários padrão \(\mathbf i\) e \(\mathbf j\).

Exemplo 5 — combinação linear de vetores unitários

Seja \(\mathbf{u}\) o vetor de ponto inicial \((2,-5)\) a ponto terminal \((-1,3)\), e \(\mathbf{v} = 2\mathbf{i}-\mathbf{j}\).

\(\mathbf{u} = \langle -1-2,\, 3-(-5)\rangle = \langle -3,8\rangle = -3\mathbf{i}+8\mathbf{j}\)
\(\mathbf{w} = 2\mathbf{u}-3\mathbf{v} = 2(-3\mathbf{i}+8\mathbf{j}) - 3(2\mathbf{i}-\mathbf{j}) = -6\mathbf{i}+16\mathbf{j}-6\mathbf{i}+3\mathbf{j} = -12\mathbf{i}+19\mathbf{j}\)

Ângulo e vetor unitário no círculo

Se \(\mathbf{u}\) é unitário e \(\theta\) é o ângulo (medido a partir do eixo \(x\) positivo, sentido anti-horário) até \(\mathbf{u}\), seu ponto terminal está no círculo unitário: \[\mathbf{u} = \langle \cos\theta,\sin\theta\rangle = \cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j}.\] Qualquer vetor não nulo \(\mathbf{v}\) fazendo ângulo \(\theta\) com o eixo \(x\) positivo tem a mesma direção de \(\mathbf{u}\), e \[\mathbf{v} = \|\mathbf{v}\|\langle\cos\theta,\sin\theta\rangle = \|\mathbf{v}\|\cos\theta\,\mathbf{i} + \|\mathbf{v}\|\sin\theta\,\mathbf{j}.\]

Figura 11.11 — O ângulo \(\theta\) do eixo \(x\) positivo até \(\mathbf u\).

Exemplo 6 — vetor de magnitude e direção dadas

\(\mathbf{v}\) tem magnitude \(3\) e ângulo \(30° = \pi/6\) com o eixo \(x\) positivo: \[\mathbf{v} = 3\cos\frac{\pi}{6}\mathbf{i} + 3\sin\frac{\pi}{6}\mathbf{j} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{3}{2}\mathbf{j}.\]

Força resultante

Um vetor pode representar força, por ter magnitude e direção. Se várias forças atuam sobre um objeto, a força resultante é a soma vetorial das forças.

Exemplo 7 — força resultante

Dois rebocadores empurram um transatlântico, cada um exercendo \(400\) libras a \(\pm 20°\) do eixo \(x\): \[\mathbf{F}_1 = 400\langle\cos 20°,\sin 20°\rangle, \qquad \mathbf{F}_2 = 400\langle\cos(-20°),\sin(-20°)\rangle.\] A resultante é \[\mathbf{F} = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 = 800\cos(20°)\,\mathbf{i} \approx 752\,\mathbf{i},\] ou seja, aproximadamente \(752\) libras na direção do eixo \(x\) positivo — as componentes verticais se cancelam por simetria.

Figura 11.12 — Força resultante sobre o transatlântico.

Rumo e velocidade

Em navegação, um rumo (bearing) é a direção que mede o ângulo agudo que uma trajetória faz com uma linha norte-sul fixa; em navegação aérea, rumos são medidos em graus no sentido horário a partir do norte.

Exemplo 8 — velocidade resultante

Um avião voa a \(500\) mph com rumo \(330°\) sem vento: \[\mathbf{v}_1 = 500\cos(120°)\,\mathbf{i} + 500\sin(120°)\,\mathbf{j}.\] Ao encontrar um vento de \(70\) mph na direção N\(45°\)E, \[\mathbf{v}_2 = 70\cos(45°)\,\mathbf{i} + 70\sin(45°)\,\mathbf{j},\] e a velocidade resultante é \[\mathbf{v} = \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \approx -200{,}5\,\mathbf{i} + 482{,}5\,\mathbf{j}.\]

Exemplo 8 — velocidade resultante (continuação)

Com \(\|\mathbf{v}\| \approx \sqrt{(-200{,}5)^2+(482{,}5)^2} \approx 522{,}5\), \[\mathbf{v} \approx 522{,}5\left[\cos(112{,}6°)\,\mathbf{i}+\sin(112{,}6°)\,\mathbf{j}\right],\] isto é, velocidade alterada para \(\approx 522{,}5\) mph, em trajetória a \(\approx 112{,}6°\) do eixo \(x\) positivo.

Figura 11.13 — Velocidade do avião sem vento (a) e com vento (b).

Teorema 11.1 — propriedade associativa

Usa a associatividade da soma de reais: \[(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} = \langle u_1+v_1,u_2+v_2\rangle + \langle w_1,w_2\rangle = \langle (u_1+v_1)+w_1,\, (u_2+v_2)+w_2\rangle\] \[= \langle u_1+(v_1+w_1),\, u_2+(v_2+w_2)\rangle = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).\]

Teorema 11.1 — propriedade distributiva

\((c+d)\mathbf u = c\mathbf u + d\mathbf u\) usa a distributividade dos reais: \[(c+d)\mathbf{u} = \langle (c+d)u_1,\,(c+d)u_2\rangle = \langle cu_1+du_1,\, cu_2+du_2\rangle = c\mathbf{u}+d\mathbf{u}.\]

Teorema 11.2 — derivação

Com \(c\mathbf{v}=\langle cv_1,cv_2\rangle\), \[\|c\mathbf{v}\| = \sqrt{(cv_1)^2+(cv_2)^2} = \sqrt{c^2(v_1^2+v_2^2)} = |c|\sqrt{v_1^2+v_2^2} = |c|\,\|\mathbf{v}\|.\]

Teorema 11.3 — derivação

Como \(1/\|\mathbf v\|>0\), \(\mathbf{u}=(1/\|\mathbf v\|)\mathbf{v}\) tem a mesma direção de \(\mathbf{v}\); pelo Teorema 11.2, \[\|\mathbf{u}\| = \left\|\frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}\right\| = \left|\frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\right|\|\mathbf{v}\| = \frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\|\mathbf{v}\| = 1.\]

\[\boxed{\|\mathbf{u}\|=1} \quad \text{— } \mathbf{u} \text{ é unitário, na mesma direção de } \mathbf{v}.\]