Curvas diferenciáveis

1.1–1.6 - Araújo: Differential Geometry

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Contexto

  • O Capítulo 1 revisa curvas parametrizadas em \(\mathbb{R}^n\) antes de restringir a atenção a \(\mathbb{R}^3\).
  • Segundo o prefácio, §1.1–1.3 cobrem material que o leitor provavelmente já conhece (comprimento de arco, curvatura, triedro de Frenet).
  • §1.4–1.8 são tópicos opcionais para o curso: contato de curvas, curvas convexas, curvas de largura constante, teorema dos quatro vértices e desigualdade isoperimétrica.
  • Esta nota cobre §1.1 a §1.6 (até o início de curvas de largura constante). §1.7 (Teorema dos Quatro Vértices) e §1.8 (Desigualdade Isoperimétrica) ficam para uma nota posterior.

Curva regular

Definição

Uma curva parametrizada \(\alpha: I \to \mathbb{R}^n\) é regular quando \(\alpha'(t) \neq 0\) para todo \(t\).

  • A velocidade escalar é \(v(t) = |\alpha'(t)|\).
  • A função comprimento de arco é \[ S(t) = \int_a^t v(r)\,dr. \]

Proposição 1.1.1 — o segmento de reta é o caminho mais curto

  • Entre dois pontos, o segmento de reta é o caminho mais curto — o resultado se demonstra via a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Reparametrização por comprimento de arco

Definição

Toda curva regular admite uma reparametrização \(\tilde\alpha = \alpha \circ h\) por comprimento de arco, isto é, com \(|\tilde\alpha'(s)| \equiv 1\), tomando \(h = S^{-1}\).

Derivação. Como \(S'(t) = v(t) > 0\), \(S\) é um difeomorfismo crescente de \([a,b]\) sobre \([0, l(\alpha)]\). Definindo \(h = S^{-1}\) e \(\tilde\alpha(s) = \alpha(h(s))\), a regra da cadeia dá \[ \tilde\alpha'(s) = h'(s)\,\alpha'(h(s)) = \alpha'(t)/v(t) \quad \text{com } t = h(s), \] logo \[ \boxed{|\tilde\alpha'(s)| = 1 \ \ \text{para todo } s} \] — a curva reparametrizada tem velocidade escalar unitária.

Vetor tangente e curvatura

Para \(\alpha: I \to \mathbb{R}^3\):

Definição

  • O vetor tangente unitário é \(\tau(t) = \alpha'(t)/v(t)\).
  • A curvatura é \[ k(t) = \frac{|\tau'(t)|}{v(t)}. \]
  • A curvatura é uma quantidade independente da parametrização — só depende do ponto \(\alpha(t)\), não do sentido de percurso.

Triedro de Frenet

Quando \(k(t) \neq 0\):

Definição

  • A normal principal é \(\mathbf{n}(t) = \tau'(t)/|\tau'(t)|\).
  • A binormal é \(\mathbf{b}(t) = \tau(t) \times \mathbf{n}(t)\).
  • A tripla \((\tau, \mathbf{n}, \mathbf{b})\) é o triedro de Frenet.

Torção

Definição

A torção \(\nu(t)\) mede a variação do plano osculador (gerado por \(\tau\) e \(\mathbf{n}\)) e é definida por \[ \mathbf{b}'(t) = -\nu(t)\,v(t)\,\mathbf{n}(t). \]

Fórmulas de Frenet

Parametrizando por comprimento de arco, valem as fórmulas de Frenet:

\[ \boxed{\tau' = k\,\mathbf{n}, \qquad \mathbf{n}' = -k\,\tau - \nu\,\mathbf{b}, \qquad \mathbf{b}' = \nu\,\mathbf{n}} \]

  • Uma curva é planar sse tem torção constante nula (Proposição 1.2.1).

Teorema fundamental das curvas

Teorema 1.2.2 + Nota 1.2.3

Dadas funções \(k, \nu\) (com \(k > 0\)), existe uma curva parametrizada por comprimento de arco com essas curvatura e torção, única a menos de movimento rígido de \(\mathbb{R}^3\).

  • O Teorema 1.2.2 dá a unicidade.
  • A Nota 1.2.3 dá a existência.
  • Juntos, formam o teorema fundamental das curvas.

Exemplo — curvatura constante da hélice

O texto afirma que a hélice \(\alpha(t) = (\cos t, \sin t, t)\) tem curvatura constante, sem dar o valor. Refazendo a conta:

\[ \alpha'(t) = (-\sin t, \cos t, 1) \quad\Rightarrow\quad v(t) = |\alpha'(t)| = \sqrt{2} \ \ \text{(constante)}. \]

Logo \(\tau(t) = \alpha'(t)/\sqrt{2}\) e, como \(v\) é constante, \[ \tau'(t) = \alpha''(t)/\sqrt{2} = (-\cos t, -\sin t, 0)/\sqrt{2}, \qquad |\tau'(t)| = 1/\sqrt{2}. \]

Exemplo — curvatura constante da hélice (continuação)

Portanto \[ k(t) = \frac{|\tau'(t)|}{v(t)} = \frac{1/\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{1}{2}, \]

\[ \boxed{k \equiv \tfrac{1}{2} \ \ \text{— constante}} \]

confirmando a afirmação do texto (Fig. 1.1: exemplo de curva de curvatura constante que não é planar).

Curvatura com sinal

Em \(\mathbb{R}^2\) a curvatura ganha sinal:

Definição

Com \(\tau(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))\) o ângulo orientado do tangente com o eixo \(x\), tem-se \[ k(s) = \varphi'(s). \]

  • O sinal indica se a curva vira à esquerda ou à direita.

Teorema fundamental — versão planar

Teorema 1.3.2

Toda função \(k(s)\) é a curvatura (com sinal) de alguma curva plana, única a menos de movimento rígido do plano.

  • É o análogo planar do teorema fundamental das curvas (§1.2).

Índice de rotação

Para uma curva fechada e regular:

Definição

O índice de rotação é \[ \Re(\alpha) = \frac{1}{2\pi}\int_a^b k(s)\,ds. \]

  • Conta quantas voltas o vetor tangente dá.

Teorema 1.5.1 — caracterização de convexidade

\[ \boxed{\text{curva fechada convexa} \iff k \text{ não muda de sinal e } \Re(\alpha) = \pm 1} \]

  • Toda curva convexa é simples.

Largura de uma curva fechada

Definição

A largura de uma curva fechada na direção \(\mathbf{v}\) é \[ \mathcal{L}(\mathbf{v}) = h(\mathbf{v}) + h(-\mathbf{v}), \qquad h(\mathbf{v}) = \max_s \langle \alpha(s), \mathbf{v}\rangle. \]

Proposição 1.6.1

  • Para qualquer curva fechada, o diâmetro coincide com a largura máxima.

Implementação — curvatura numérica

Curvatura da elipse \(\alpha(t) = (a\cos t, b\sin t)\) (Exercício 6(b), §1.3) e verificação numérica da curvatura constante da hélice: