DeePC com Ruído
Controle Baseado em Dados
Universidade Federal do Pará
Recapitulando
Em DeePC — Introdução, previmos a resposta de um sistema resolvendo \(g\) em \([U_p;Y_p;U_f]g=[u_{\text{ini}};y_{\text{ini}};u]\) e predizendo \(y=Y_fg\) — sem estimar \((A,B,C,D)\), e sem ruído.
Aqui, adicionamos ruído de medição: a formulação crua falha, e a regularização de Tikhonov resolve (Coulson et al. 2019).
Por Que Regularizar?
\(A=[U_p;Y_p;U_f]\) tem mais colunas que linhas — \(g\) não é único.
- Sem ruído, qualquer solução de norma mínima já reproduz a trajetória certa;
- Com ruído, \(g\) pode se ajustar ao ruído em vez de à dinâmica — overfitting;
- \(A^\top A\) fica mal-condicionada: pequenas mudanças nos dados, grandes mudanças em \(g\).
Regularização de Tikhonov
\[ \min_{g} \; \|Ag - r\|_2^2 + \lambda \|g\|_2^2 \quad \Longrightarrow \quad g_\lambda = (A^\top A + \lambda I)^{-1} A^\top r \]
- \(\lambda=0\): sensível a ruído; \(\lambda\) grande: ignora os dados;
- Existe um meio-termo, validado em conversores de potência (Huang et al. 2021).
Python — Dados Ruidosos
Python — Mínimos Quadrados Regularizados
def hankel(x, L):
T = len(x) - L + 1
return np.array([x[i:i+T] for i in range(L)])
Tini, N = 2, 10
Hu, Hy = hankel(u_d, Tini+N), hankel(y_d, Tini+N)
Up, Uf, Yp, Yf = Hu[:Tini], Hu[Tini:], Hy[:Tini], Hy[Tini:]
u_ini = rng.choice([-1.0, 1.0], size=Tini)
y_ini = simulate(u_ini, noise=0.05)
u_fut = np.ones(N)
y_true = simulate(u_fut, y0=y_ini[-1])
A = np.vstack([Up, Yp, Uf])
r = np.concatenate([u_ini, y_ini, u_fut])
def solve_ridge(lam):
return Yf @ np.linalg.solve(A.T@A + lam*np.eye(A.shape[1]), A.T@r)Resultado: Erro vs. \(\lambda\)
import matplotlib.pyplot as plt
lambdas = np.logspace(-8, 1, 40)
rmse = [np.sqrt(np.mean((solve_ridge(lam) - y_true)**2)) for lam in lambdas]
fig, ax = plt.subplots()
_ = ax.plot(lambdas, rmse, "o-"); _ = ax.set_xscale("log")
_ = ax.set_xlabel(r"$\lambda$"); _ = ax.set_ylabel("RMSE")
plt.tight_layout(); plt.show()
Interpretação
Amplo platô de bons \(\lambda\) entre \(10^{-8}\) e \(10^{-2}\); depois o erro cresce (regularização demais ignora os dados). Em \(\lambda=0\) exato, \(A^\top A\) é singular — qualquer regularização pequena já estabiliza.
Escolhendo \(\lambda\)
- Na prática, usa-se validação cruzada, não busca exaustiva;
- Mais ruído nos dados \(\Rightarrow\) maior \(\lambda\) necessário;
- No limite \(\lambda\to\infty\), o DeePC regularizado recupera um esquema indireto — os paradigmas não são tão distantes (Dörfler et al. 2023);
- Em aplicações reais, \(\lambda\) é mais um hiperparâmetro de sintonia (Huang et al. 2021).