Sintonia de PID via Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Notas Rápidas — Tópicos Especiais em Controle

Controle Clássico
Author

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Contexto

O Lugar Geométrico das Raízes (LGR) mostra como os polos de malha fechada se deslocam no plano \(s\) à medida que um ganho \(K\) varia — mas o LGR de uma planta não compensada nem sempre passa pela região do plano \(s\) que atende às especificações de projeto (sobressinal \(M_p\), tempo de acomodação \(t_s\)). A sintonia de um PID via LGR consiste em adicionar polos e zeros ao compensador especificamente para remodelar o lugar geométrico, forçando-o a passar pelo ponto de polo dominante desejado.

Esta nota cobre o caso PD (ação proporcional-derivativa) por compensação de avanço de fase via LGR — o caso mais direto de visualizar — e comenta como estender para PID completo adicionando um polo na origem (ação integral) sem alterar significativamente o lugar já projetado.

Pré-requisito: condição de ângulo e módulo do LGR (ver ControleClassico/Notas/Aula07LGR.qmd); PID e seus efeitos (ver Aula09PID.qmd).

Formulação Matemática

  • Condição de ângulo: \(\angle G(s)H(s) = 180°(2k+1)\) — um ponto \(s_d\) só pertence ao LGR se satisfizer essa condição.
  • Déficit de ângulo no ponto de projeto desejado \(s_d = -\zeta\omega_n + j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\): soma dos ângulos dos polos/zeros da planta em \(s_d\), comparada a \(180°\).
  • Posição do zero do compensador PD, \(C(s) = K(s+z_c)\): escolhida para que o ângulo do zero cubra exatamente o déficit.
  • Condição de módulo para obter \(K\): \(K = \dfrac{1}{|G(s_d)(s_d+z_c)|}\).

Projeto do Compensador — Exemplo

Planta de exemplo (mesma já usada em Aula09PID.qmd, para consistência):

\[G(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+2)}\]

Especificação alvo: \(\zeta = 0{,}6\), \(\omega_n = 2\) rad/s \(\Rightarrow s_d = -1{,}2 + j1{,}6\).

Passo 1 — ângulos dos polos em \(s_d\): os polos em \(0\), \(-1\) e \(-2\) contribuem, respectivamente, \(120°\), \(90°\) e \(60°\) — soma de \(270°\).

Passo 2 — déficit de ângulo: o zero do compensador precisa contribuir \(\angle(s_d+z_c) = 180° + 270° \pmod{360°} = 90°\) (normalizado) para fechar a condição de ângulo em \(-180°\).

Passo 3 — posição do zero: resolvendo \(\angle(s_d+z_c)=90°\) para \(z_c\) real, obtém-se \(z_c \approx 0{,}698\).

Passo 4 — ganho pela condição de módulo: \(K \approx 3{,}44\).

Verificação: com \(C(s) = 3{,}44\,(s+0{,}698)\), a malha fechada tem polos em exatamente \(-1{,}2\pm j1{,}6\) (o par projetado) mais um terceiro polo real em \(-0{,}6\) — próximo o bastante do zero do compensador para não dominar a resposta. Note que não escolhemos \(\zeta=0{,}5,\ \omega_n=2\) (primeira tentativa): esse alvo colocaria o zero exatamente em \(s=-1\), cancelando trivialmente o polo da planta ali — sem valor didático como exemplo de compensação.

Figuras

Figure 1: LGR de \(C(s)G(s)\): o ponto de projeto \(s_d\) (estrela) cai sobre o lugar compensado, sobre a reta de \(\zeta\) constante (tracejada).
Figure 2: Resposta ao degrau: a compensação reduz o sobressinal de ~14,5% para ~2% e o tempo de acomodação de ~12,4s para ~4,4s.

Script gerador: NotasRapidas/scripts/gerar_figuras.py (funções fig_pid_lgr_compensado e fig_pid_lgr_resposta), reaproveitando paleta e save() de ControleClassico/scripts/gerar_figuras.py.

Referências