Sintonia de PID via Resposta em Frequência (Bode)

Notas Rápidas — Tópicos Especiais em Controle

Controle Clássico
Author

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Contexto

O projeto de compensadores no domínio da frequência trabalha diretamente com a margem de fase (MF), usando a relação aproximada \(\zeta\approx\text{MF}/100\) (válida para MF \(\lesssim 60°\)) para traduzir uma especificação de sobressinal em uma meta de MF — a mesma ponte tempo↔︎frequência já apresentada em ControleClassico/Notas/Aula08RespostaFrequencia.qmd.

O compensador de avanço de fase é o análogo, no domínio da frequência, do zero do PD por LGR (nota anterior): ele adiciona fase positiva perto da frequência de cruzamento de ganho, aumentando a MF e, por consequência, reduzindo o sobressinal e melhorando o amortecimento — sem alterar o ganho de baixa frequência (erro de regime permanente).

Pré-requisito: diagrama de Bode, margens de ganho/fase (ver Aula08RespostaFrequencia.qmd).

Note

Nesta nota, \(\omega_{gc}\) denota a frequência de cruzamento de ganho (\(|GH|=0\) dB, associada à MF) e \(\omega_{pc}\) a de cruzamento de fase (\(\angle GH=-180°\), associada à MG) — convenção padrão de livro-texto. Vale conferir: Aula08RespostaFrequencia.qmd usa os subscritos trocados (ω_pc para cruzamento de ganho e ω_gc para cruzamento de fase); os valores numéricos lá estão corretos, só a nomenclatura está invertida em relação ao padrão.

Formulação Matemática

Compensador de avanço: \(C(s) = \dfrac{1+Ts}{1+\alpha T s}\), com \(0<\alpha<1\) (contribui fase positiva máxima \(\phi_{max}\) na frequência \(\omega_m = \dfrac{1}{T\sqrt{\alpha}}\)).

  • Fase máxima do avanço: \(\sin\phi_{max} = \dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} \;\Rightarrow\; \alpha = \dfrac{1-\sin\phi_{max}}{1+\sin\phi_{max}}\)
  • Fase necessária: \(\phi_{max} = \text{MF}_{desejada} - \text{MF}_{atual} + \epsilon\), com margem de segurança \(\epsilon\approx5\)–\(12°\) (o avanço desloca \(\omega_{gc}\) para uma frequência maior, então a MF real obtida costuma ficar um pouco abaixo do alvo ingênuo).
  • Nova frequência de projeto \(\omega_m\): escolhida onde \(|G(j\omega)|_{dB} = -10\log_{10}(1/\alpha) = 10\log_{10}\alpha\) (ganho que o avanço “compensa” ao subir a curva de magnitude ali).
  • Constante de tempo: \(T = \dfrac{1}{\omega_m\sqrt{\alpha}}\).

Projeto do Compensador — Exemplo

Planta de exemplo (mesma de Aula08RespostaFrequencia.qmd): \(G(s) = \dfrac{10}{s(s+1)(s+5)}\), com MF atual \(\approx 25°\) (em \(\omega_{gc}\approx1{,}23\) rad/s) e MG \(\approx 9{,}5\) dB.

Meta: elevar a MF para \(\approx 45°\) (reduzindo o sobressinal esperado de \(M_p\approx53\%\) para \(M_p\approx25\%\), pela tabela de Aula08RespostaFrequencia.qmd).

  • \(\phi_{max} = 45° - 25° + 5° = 25°\ \Rightarrow\ \alpha \approx 0{,}412\)
  • \(\omega_m \approx 1{,}585\) rad/s (onde \(|G|_{dB}\approx-3{,}85\) dB)
  • \(T \approx 0{,}983\) s

\[C(s) = \frac{1+0{,}983\,s}{1+0{,}405\,s}\]

Resultado real (a MF obtida fica um pouco abaixo do alvo ingênuo, como esperado): MF \(\approx 39°\), MG \(\approx 11{,}5\) dB, em \(\omega_{gc}\approx1{,}58\) rad/s. Ainda assim, uma melhora expressiva sobre a planta não compensada.

Figuras

Figure 1: Bode de \(G(s)\) vs. \(C(s)G(s)\): o avanço de fase eleva a curva de fase perto do novo cruzamento de ganho, subindo a MF de 25° para ≈39°.
Figure 2: Resposta ao degrau: sobressinal cai de ≈49% para ≈30%, com acomodação bem mais rápida.

Script gerador: NotasRapidas/scripts/gerar_figuras.py (funções fig_bode_lead_comparacao e fig_bode_lead_resposta).

Referências