Controle proporcional com polarização

float controle_passo(float y)               // SK03ControleP
{
    r = (k < N_AMOSTRAS) ? referencia(k) : U_OP;

    e = r - y;                              // lei de controle P
    u = Kp * e;
    if (usar_bias != 0U)
        u += U_OP;                          // u0 = 1,0 V

    if (u > U_MAX) u = U_MAX;               // saturação
    if (u < U_MIN) u = U_MIN;

    r_buf[k] = r; u_buf[k] = u; y_buf[k] = y;
    k++;
    return u;
}

Referência do ensaio

• 20 amostras em \(r = 1{,}0\) V (ponto de operação);
• onda quadrada 1,2 ↔︎ 0,8 V, 60 amostras (300 ms) em cada nível, 3 ciclos;
• total: 380 amostras (\(r\), \(u\) e \(y\) gravados em float na RAMGS0);
• modo_continuo = 1: buffer circular — as 20 primeiras amostras ficam em 0,8 V (continuação do ciclo anterior) e o ensaio se repete indefinidamente (usado nos ensaios com \(K_p \geq 2\)).

O nível de 1,2 V fica 0,2 V acima do ponto de operação e o de 0,8 V, 0,2 V abaixo: o desvio de referência é \(\tilde r = \pm 0{,}2\) V.

Erro em regime numa planta tipo 0

A planta tem ganho estático finito, \(K = G(1)\) = 0,983 — é do tipo 0 (sem integrador). Em regime, com desvios em torno do ponto de operação (\(\tilde y = K\tilde u\) e \(\tilde u = K_p(\tilde r - \tilde y)\)):

\[ \tilde y_\infty = \frac{K K_p}{1 + K K_p}\,\tilde r \qquad\Longrightarrow\qquad e_\infty = \tilde r - \tilde y_\infty = \frac{\tilde r}{1 + K K_p} = \frac{\tilde r}{1 + 0{,}983\,K_p}. \]

O erro diminui com \(K_p\), mas nunca zera: zerar exigiria \(K_p \to \infty\). Para erro nulo, é preciso um integrador no controlador (PI, próxima nota).

Polos de malha fechada

Com o ARX(1,3,1), \(G(z) = \dfrac{b_1 z^2 + b_2 z + b_3}{z^2(z - a_1)}\), a equação característica de \(1 + K_p G(z) = 0\) é

\[ z^3 - (a_1 - K_p b_1)\,z^2 + K_p b_2\,z + K_p b_3 = 0. \]

Aumentar \(K_p\) acelera a resposta até \(K_p \approx 2\); a partir daí os polos ficam complexos (oscilação, sobressinal) e se aproximam do círculo unitário.

Ensaio (DadosControleP01.csv)

A saída não alcança a referência: fica em ≈ 1,10 V quando \(r\) = 1,2 V e em ≈ 0,90 V quando \(r\) = 0,8 V — metade do caminho, como prevê \(1/(1 + 0{,}983) \approx 50\ \%\).

O ganho usado foi mesmo \(K_p = 1\)?

Os dados permitem verificar o ganho: fora da saturação, \(u(k) = u_0 + K_p\,[r(k) - y(k)]\) é linear em \(r - y\). Mínimos quadrados com as 380 amostras:

Resíduo da ordem do arredondamento do float: o ensaio usou exatamente \(K_p = 1\) e \(u_0 = 1{,}0\) V, e o atuador não saturou (com \(K_p = 1\), \(u\) varia só entre ≈ 0,7 e 1,3 V). Os próximos ensaios terão o \(K_p\) identificado da mesma forma.

Medido × previsto

Erro em regime por patamar

Medido e teórico diferem em menos de 1 mV — dentro da resolução do ADC (0,73 mV). A pequena assimetria (+102 mV em cima, −99 mV embaixo) também é prevista: o ponto de operação da planta com \(u_0 = 1{,}0\) V é \(y \approx 0{,}998\) V, não exatamente 1,0 V.

Transitório: média dos três ciclos

Por que o \(t_s\) medido difere?

• As curvas medida e prevista coincidem amostra a amostra dentro de ±3 mV;
• Com \(KK_p \approx 1\), a saída só percorre metade do degrau de referência: ≈ 0,17 V. A faixa de 2 % é de ±3,4 mV — do tamanho do ruído do ADC (≈ 2 mV de desvio; ≈ 1,1 mV na média de três ciclos). Uma única amostra ruidosa fora da faixa “atrasa” o \(t_s\);
• O mesmo vale para o “sobressinal” medido de 1–2 %: são 2–3 mV, nível de ruído — o polo dominante de malha fechada é real (\(z \approx 0{,}58\)), sem oscilação;
• Com a faixa de 5 %, medido e previsto concordam.

Ruído na ação de controle

\[ u(k) = u_0 + K_p\,[r(k) - y(k)] \quad\Longrightarrow\quad \sigma_u = K_p\,\sigma_y \]

Com \(K_p = 1\) o ruído do ADC passa integralmente para \(u\) (razão exatamente 1). Com \(K_p = 4\), o ruído em \(u\) será ≈ 4 vezes maior: reduzir o erro com ganho cobra o preço em ruído no atuador.

Ensaios e consistência dos dados

Erro em regime × \(K_p\)

Medido e teórico diferem em menos de 1 mV para todos os ganhos: de 102 mV (\(K_p\) = 1) a 34 mV (\(K_p\) = 5), o erro cai como \(1/(1 + KK_p)\) — cinco vezes mais ganho reduz o erro só três vezes, e o erro nunca zera.

Transitório × \(K_p\)

Leitura do transitório

• Até \(K_p \approx 2\) o polo dominante é real: a resposta acelera sem oscilar (\(t_s\) cai de 35 para 20 ms);
• A partir de \(K_p \approx 2\) os polos ficam complexos: aparece sobressinal, que cresce com \(K_p\) (≈ 6 % com \(K_p\) = 3, ≈ 11 % com \(K_p\) = 5), e a resposta deixa de acelerar — a oscilação compensa o ganho;
• O sobressinal medido coincide com o previsto pelo ARX em todos os ganhos (diferença de ≈ 1 ponto percentual): o modelo de malha aberta prevê também a dinâmica oscilatória;
• Assimetria: na descida o sobressinal é maior que na subida (13 % × 8 % com \(K_p\) = 4) — efeito da saturação, próximo slide.

Saturação do atuador

Por que a descida oscila mais: a polarização \(u_0\) = 1,0 V está a 0,7 V do limite superior, mas a 1,0 V do inferior. Na subida a saturação corta uma parte maior do comando, o que freia a saída e reduz o sobressinal; na descida o corte é menor. A saturação também explica por que aumentar \(K_p\) deixa de acelerar a subida.

Ruído × \(K_p\)

Conclusões