Identificação do Filtro Sallen-Key

O filtro e os ensaios

O problema: ARX com \(T_s\) = 1 ms

O ARX(2,2,1) identificado com as amostras de 1 ms sai com ganho 1,18 e polo lento de 60 ms (o dobro do real). Com os mesmos dados, tomados a cada 5 ms, o ajuste vai de 69 % a 96 %.

Por que \(T_s\) = 1 ms atrapalha

O ARX escolhe os coeficientes que melhor preveem \(y(k)\) a partir de \(y(k-1)\), \(y(k-2)\), \(u(k-1)\), \(u(k-2)\):

• Com \(T_s\) = 1 ms, o polo lento anda só \(\omega_1 T_s\) = 0,036 por amostra: \(y(k) \approx y(k-1)\), e a previsão de um passo acerta quase de graça;
• O que sobra para os coeficientes “explicarem” são os detalhes rápidos de uma amostra para a outra: o ruído e o que o modelo de 2ª ordem não tem;
• Resultado: previsão de um passo boa, simulação livre ruim (ganho e polo lento errados).

O que o modelo não tem: a subida

Em toda subida de \(u\), \(y\) salta 0,17 V e fica num patamar por ≈ 10 ms antes de subir; na descida, não. Por ser só na subida, não é linear (provavelmente o amplificador operacional). Com 1 ms, esse trecho pesa na previsão de um passo; a cada 5 ms, quase some.

Escolha: \(T_s\) = 5 ms

• Regra para 2ª ordem (Åström & Wittenmark): \(\omega T_s \approx 0{,}2\) a \(0{,}6\); com 5 ms, o polo lento fica em 0,18 e o rápido em 0,60: os dois na faixa;
• Com 10 ms, o polo rápido passa de 1 (quase uma amostra por constante de tempo).

Varredura simulada (planta = modelo identificado, ruído de 0,5 mV, 50 ensaios), ajuste do ARX no degrau:

Mesmo sem o patamar da subida, 1 ms já perde 7 a 9 pontos: o \(T_s\) é o que mais pesa.

PRBS: \(T_b\) e \(N_b\)

Registrador de 8 bits (\(x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + 1\)): 255 bits; bit de duração \(T_b = N_b T_s\).

1. Excitar o polo rápido: faixa \(0{,}44/T_b \gtrsim f_2\) = 19 Hz \(\Rightarrow T_b \lesssim\) 23 ms;
2. Excitar o ganho estático: pulso mais longo \(8\,T_b \gtrsim\) acomodação (118 ms) \(\Rightarrow T_b \gtrsim\) 15 ms.

Espectro da PRBS × filtro

Com \(T_b\) = 5 ms, a energia vai até 90 Hz, onde o filtro já atenua mais de 30 dB. Com \(T_b\) = 20 ms, ela fica até ≈ 22 Hz, cobrindo os dois polos.

Ensaio PRBS

Bits de 5 ms são curtos para o filtro: \(y\) quase nunca chega aos níveis 0,6 e 1,4 V. Para a identificação, os dados foram tomados a cada 5 ms (os bits de 5 ms continuam exatos).

ARX por mínimos quadrados

Nas variações em torno do ponto de operação (\(u_0\) = 1,0 V), com atraso de uma amostra (o firmware lê \(y(k)\) antes de escrever \(u(k)\) no DAC):

\[ y(k) = a_1\,y(k-1) + a_2\,y(k-2) + b_1\,u(k-1) + b_2\,u(k-2) \]

du = u(101:5:end) - 1.0;   dy = y(101:5:end) - y0;    % Ts = 5 ms a partir da PRBS

function [G, th] = ARX221(du, dy, Ts)
    k   = (3:numel(dy))';
    Phi = [dy(k-1), dy(k-2), du(k-1), du(k-2)];
    th  = (Phi \ dy(k))';                               % minimos quadrados
    G   = tf([0 th(3) th(4)], [1 -th(1) -th(2)], Ts, 'Variable', 'z^-1');
end

Identificação com os primeiros 70 % das amostras; validação com os 30 % finais e com o degrau.

Modelo identificado

Com \(T_s\) = 5 ms, ARX e OE praticamente coincidem: ajuste de 96 % no degrau e 98 % na PRBS.

Validação: 30 % finais da PRBS

Simulação livre do ARX (\(T_s\) = 5 ms) com a entrada medida, a partir de dados que não entraram na identificação: ajuste de 98 %.

ARX × OE

Os dois dão a mesma forma de modelo, \(G(z) = \dfrac{b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}}\); muda só o critério do ajuste:

• Para controle, os dois servem igualmente: P, PI, MPC usam \(G(z)\), que tem a mesma forma;
• Com \(T_s\) bem escolhido, o ARX já acerta; o OE fica como conferência.

Próximo ensaio: SK02PRBS

const ParametrosPRBS p = {
    .Ts       = 5e-3f,    // 5 ms: polos com wTs = 0,18 e 0,6
    .u0       = 1.0f,     // ponto de operacao [V]
    .A        = 0.4f,     // u em 0,6 ou 1,4 V
    .Tb       = 20e-3f,   // Nb = 4: faixa 22 Hz, pulso maior 160 ms
    .tPre     = 0.1f,
    .tAcomoda = 2.0f,
    .semente  = 0x01U,
};

• Projeto já com esses valores; 2000 amostras = 10 s, quase 2 períodos da PRBS;
• SK01Degrau pode ficar em 1 ms: para validar, toma-se uma amostra a cada 5.

Modelos usados nas notas de controle

• Nesse ensaio anterior, o ARX a 1 ms saiu bom (\(K\) = 1,00; \(\tau_1\) = 26 ms); com os dados atuais, não: em 1 ms o resultado depende do ensaio;
• Para controlar em 1 ms, identificar em 5 ms e converter: c2d(d2c(G, 'zoh'), 1e-3).

Conclusões

• \(T_s\) = 5 ms para identificar: os dois polos com \(\omega T_s\) entre 0,18 e 0,6; com 1 ms, o ARX erra o ganho e o polo lento;
• \(T_b\) = 20 ms (\(N_b\) = 4): faixa até 22 Hz (cobre o polo de 19 Hz) e pulso mais longo de 160 ms (mais que a acomodação);
• ARX(2,2,1) com \(T_s\) = 5 ms: \(K\) = 1,00, \(\tau\) = 29 e 7,9 ms, ajuste de 96 a 98 %; igual ao OE;
• A subida tem um salto e um patamar que o modelo linear não representa: vale investigar o amplificador operacional.

Código: analise/ident_sk.m (figuras e números desta apresentação).