DeePC
Data-Enabled Predictive Control
DeePC (Data-Enabled Predictive Control) é um método de controle preditivo que substitui o modelo matemático explícito da planta — usado em todo MPC clássico — por uma trajetória de dados de entrada/saída coletada diretamente do sistema. Foi proposto por Coulson, Lygeros e Dörfler (Coulson et al. 2019a), e se apoia numa ideia da teoria comportamental de sistemas dinâmicos com quase duas décadas: o Lema Fundamental de Willems (Willems et al. 2005).
Motivação
O controle preditivo baseado em modelo (MPC) resolve, a cada instante, uma otimização sobre um horizonte futuro usando um modelo \((A,B,C,D)\) ou \(G(s)\)/\(G(z)\) da planta. Esse modelo normalmente vem de uma etapa separada de identificação de sistemas: coletam-se dados, ajusta-se uma estrutura de modelo, valida-se, e só então se projeta o controlador. Cada uma dessas etapas introduz aproximações e custo de engenharia.
DeePC elimina a etapa intermediária: os dados brutos \((u_d, y_d)\) tornam-se, eles mesmos, o “modelo” usado na otimização de controle. Isso é possível porque, sob uma condição de excitação persistente, uma trajetória de dados finita já contém informação suficiente para caracterizar todas as trajetórias possíveis de um sistema linear invariante no tempo.
O Lema Fundamental de Willems
Seja \(w_d = (u_d, y_d)\) uma trajetória de entrada/saída de comprimento \(T\) de um sistema LTI controlável de ordem \(n\), com \(m\) entradas. Sua matriz de Hankel de profundidade \(L\) é
\[ H_L(w_d) = \begin{bmatrix} w_d(1) & w_d(2) & \cdots & w_d(T-L+1) \\ w_d(2) & w_d(3) & \cdots & w_d(T-L+2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_d(L) & w_d(L+1) & \cdots & w_d(T) \end{bmatrix}. \]
O sinal \(u_d\) é persistentemente excitante de ordem \(L\) se \(H_L(u_d)\) tem posto linha completo (\(mL\)). O Lema Fundamental afirma que, se \(u_d\) é persistentemente excitante de ordem \(L+n\), então toda trajetória \((u,y)\) de comprimento \(L\) do sistema pode ser escrita como combinação linear das colunas de \(H_L(u_d), H_L(y_d)\) (Willems et al. 2005). Ou seja, a matriz de Hankel dos dados é um retrato fiel do comportamento do sistema — um modelo implícito, sem necessidade de estimar \((A,B,C,D)\). Esta é a ponte entre a abordagem comportamental de sistemas dinâmicos e o controle direto baseado em dados (Markovsky et al. 2023).
Formulação do Problema de Controle
Particionando \(H_L(u_d)\) e \(H_L(y_d)\) em blocos “passado” (as primeiras \(T_{\text{ini}}\) linhas, denotadas \(U_p, Y_p\)) e “futuro” (as \(N\) linhas seguintes, \(U_f, Y_f\)), com \(L = T_{\text{ini}} + N\), o DeePC resolve, a cada instante:
\[ \min_{g,\,u,\,y} \; \sum_{k=1}^{N} \|y_k - r_k\|_Q^2 + \|u_k\|_R^2 \quad \text{s.a.} \quad \begin{bmatrix} U_p \\ Y_p \\ U_f \\ Y_f \end{bmatrix} g = \begin{bmatrix} u_{\text{ini}} \\ y_{\text{ini}} \\ u \\ y \end{bmatrix}. \]
Os blocos \(U_p, Y_p\) fixam \(g\) a uma combinação compatível com o histórico recente \((u_{\text{ini}}, y_{\text{ini}})\) — desempenhando o papel de estimador de estado implícito — enquanto \(U_f, Y_f\) predizem os próximos \(N\) passos: \(y = Y_f g\), \(u = U_f g\). Como em qualquer MPC, aplica- se apenas o primeiro passo da solução ótima e repete-se o processo em horizonte deslizante.
Regularização
Com dados ruidosos, o problema acima costuma ser mal-condicionado: \(g\) pode não ser único, e pequenas perturbações no histórico produzem soluções que “explicam” o ruído em vez da dinâmica real. A solução usual acrescenta penalidades:
\[ \min_{g,\,u,\,y} \; \sum_{k=1}^{N} \|y_k - r_k\|_Q^2 + \|u_k\|_R^2 \;+\; \lambda_g \|g\|_2^2 \;+\; \lambda_y \|\sigma_y\|_1, \]
onde \(\lambda_g \|g\|_2^2\) é uma regularização de Tikhonov sobre \(g\) e \(\sigma_y\) é uma variável de folga que absorve inconsistências entre \((u_{\text{ini}}, y_{\text{ini}})\) e os dados (Coulson et al. 2019b). Essa regularização foi validada experimentalmente em conversores de potência (Huang, Zhen, et al. 2021), e Dörfler, Coulson e Markovsky mostram que, com o escalonamento adequado dos pesos, o DeePC regularizado recupera, em um limite, a solução de esquemas indiretos (identificar-depois-projetar) — os dois paradigmas, direto e indireto, não são tão distantes quanto parecem (Dörfler et al. 2023).
Relação com Outras Abordagens
DeePC tem relação formal com o controle preditivo por subespaços (SPC), uma técnica indireta mais antiga que também usa matrizes de dados, mas para estimar um modelo de espaço de estados antes de projetar o controlador (Fiedler e Lucia 2021). Verheijen, Breschi e Lazar oferecem um tratamento unificado das variantes lineares de controle preditivo baseado em dados, situando DeePC dentro de uma família mais ampla de métodos (Verheijen et al. 2023). DeePC também pode ser lido como um caso particular de controle direto baseado em dados dentro do panorama mais amplo que inclui aprendizagem por reforço (Dörfler et al. 2022).
Garantias Teóricas
Inicialmente uma heurística, o DeePC já conta com resultados formais de estabilidade e robustez em malha fechada, mesmo com dados ruidosos (Berberich et al. 2021), e de otimalidade do problema data-driven equivalente ao MPC baseado em modelo no caso sem ruído (Dörfler et al. 2023). Li et al. oferecem um levantamento recente do estado da arte e dos desafios em aberto para plantas não lineares (Li et al. 2025).
Aplicações
DeePC foi validado experimentalmente em eletrônica de potência: controle de conversores conectados à rede (Huang et al. 2019), amortecimento descentralizado de oscilações em sistemas de potência usando apenas medições locais (Huang, Coulson, et al. 2021), e extensões para plantas não lineares via redes neurais (Lazar 2024).
Ver também
- DeePC — Introdução (apresentação)
- DeePC com Ruído — Regularização na Prática (apresentação)
- Simulação de Sistemas e Sinais PRBS (Identificacao) — persistência de excitação e projeto de PRBS, a versão pedagógica da condição de posto do Lema de Willems usada aqui.
- Controle MPC-FCS de gerador DFIG (ControleDFIG) — MPC baseado num modelo ARX identificado previamente; o DeePC é a contraparte que dispensa esse passo de identificação.