Operador de Koopman
Linearização Global de Sistemas Não Lineares
O operador de Koopman \(\mathcal{K}\) é um operador linear — em geral de dimensão infinita — que descreve exatamente a evolução temporal de qualquer sistema dinâmico, linear ou não linear, ao atuar não sobre o estado \(x\) diretamente, mas sobre funções observáveis do estado. Introduzido por Bernard Koopman em 1931 no contexto de sistemas hamiltonianos (Koopman, 1931), o conceito permaneceu majoritariamente teórico até ganhar, a partir dos anos 2000, algoritmos práticos de aproximação a partir de dados — hoje a base de uma família de métodos de identificação e controle de sistemas não lineares.
Motivação
Controle linear (LQR, alocação de polos, MPC linear) é maduro, barato de resolver numericamente e vem com garantias teóricas fortes. Controle não linear, por outro lado, exige ferramentas mais caras — MPC não linear, linearização por realimentação, backstepping — cada uma com seu próprio conjunto de hipóteses e limitações. A abordagem de Koopman propõe uma alternativa: em vez de linearizar a dinâmica localmente (como no jacobiano em torno de um ponto de equilíbrio), busca-se uma mudança de coordenadas \(\phi(x)\) na qual a dinâmica seja linear globalmente, ou ao menos numa região grande do espaço de estados.
Definição Formal
Para um sistema discreto \(x_{k+1} = f(x_k)\), o operador de Koopman age sobre observáveis \(\phi: \mathcal{X} \to \mathbb{R}\) por
\[ (\mathcal{K}\phi)(x) = \phi(f(x)). \]
Ou seja, “compor com \(f\)” é uma operação linear em \(\phi\): para quaisquer observáveis \(\phi_1,\phi_2\) e escalares \(a,b\), \(\mathcal{K}(a\phi_1+b\phi_2) = a\,\mathcal{K}\phi_1 + b\,\mathcal{K}\phi_2\), mesmo que \(f\) seja arbitrariamente não linear. O preço dessa linearidade é que \(\mathcal{K}\) atua sobre um espaço de funções, tipicamente de dimensão infinita, em vez de atuar sobre \(\mathcal{X}\) diretamente.
Autofunções e Modos de Koopman
Se \(\varphi\) é uma autofunção de \(\mathcal{K}\) com autovalor \(\lambda\), \(\mathcal{K}\varphi = \lambda \varphi\), então ao longo de qualquer trajetória \(\varphi(x_{k+1}) = \lambda\,\varphi(x_k)\): a autofunção evolui linearmente, por mais não linear que seja \(f\). Expandindo o vetor de estado nas autofunções, \(x = \sum_i \varphi_i(x)\,v_i\) — os \(v_i\) são os modos de Koopman — obtém-se a solução explícita \(x_k = \sum_i \lambda_i^k\,\varphi_i(x_0)\,v_i\), análoga à decomposição modal de um sistema linear \(\dot x = Ax\), mas válida para o sistema não linear original (Mezić, 2005).
Da Teoria ao Cálculo: DMD e EDMD
Estimar \(\mathcal{K}\) exatamente é inviável, por sua dimensão infinita. A primeira aproximação prática, historicamente, foi a Dynamic Mode Decomposition (DMD) (Schmid, 2010): toma como observável o próprio estado, \(\phi(x) = x\), e ajusta uma matriz \(A\) tal que \(x_{k+1} \approx Ax_k\) por mínimos quadrados sobre pares de snapshots. DMD só captura bem a dinâmica quando ela já é aproximadamente linear no estado bruto.
A Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) (Williams; Kevrekidis; Rowley, 2015) generaliza a DMD enriquecendo os observáveis: escolhe-se uma biblioteca \(\phi_1,\dots,\phi_n\) (monômios, funções trigonométricas, funções de base radial, …), forma-se \(z = \phi(x) \in \mathbb{R}^n\), e ajusta-se \(K \in \mathbb{R}^{n\times n}\) por mínimos quadrados sobre pares de dados:
\[ K = \arg\min_K \sum_k \|\phi(x_{k+1}) - K\phi(x_k)\|_2^2. \]
Uma variante baseada em kernels permite representar implicitamente bibliotecas de observáveis de dimensão muitíssimo alta, sem manipulá-las explicitamente (Williams; Rowley; Kevrekidis, 2015). Quando a biblioteca escolhida gera um subespaço invariante por \(\mathcal{K}\) — como ocorre para certos sistemas polinomiais —, o EDMD recupera \(K\) exatamente, sem qualquer erro de aproximação.
Escolha de Observáveis
A qualidade do preditor linear resultante depende inteiramente da escolha de \(\phi\): se a biblioteca não contiver as funções necessárias para “fechar” a dinâmica, nenhuma quantidade de dados corrige o problema — é uma questão de especificação, não de otimização. Estratégias usadas na literatura incluem bibliotecas genéricas grandes (deixando a regressão eliminar termos irrelevantes), kernels, e observáveis aprendidos por redes neurais (autoencoders), treinados para que o espaço latente resultante seja aproximadamente invariante por Koopman — ver o levantamento de Brunton, Budišić, Kaiser e Kutz (Brunton et al., 2022) e a coletânea de aplicações organizada por Mauroy, Mezić e Susuki (Mauroy; Mezić; Susuki, 2020).
Da Identificação ao Controle
Uma vez obtido o preditor linear \(z_{k+1} = Kz_k + Bu_k\) com \(z=\phi(x)\), técnicas de controle lineares tornam-se aplicáveis a uma planta originalmente não linear: LQR sobre o espaço de observáveis, alocação de polos no sistema levantado (lifted), e — de particular interesse prático — MPC linear com restrições, em vez de MPC não linear, o que reduz drasticamente o custo computacional de resolver a otimização em tempo real (Korda; Mezić, 2018).
Ver também
- Koopman — Introdução (apresentação)
- EDMD na Prática (apresentação)
- Identificação de Modelos ARX por Mínimos Quadrados (Identificacao) — a mesma estimação por mínimos quadrados sobre pares de dados, aqui sem o levantamento (lifting) para observáveis: o caso linear já-linear.